Υπερεπιφάνεια

Στη γεωμετρία, η υπερεπιφάνεια είναι μια γενίκευση των εννοιών του υπερεπιπέδου, της επίπεδης καμπύλης και της επιφάνειας. Μια υπερεπιφάνεια είναι μια πολλαπλότητα ή μια αλγεβρική ποικιλία διάστασης n - 1, η οποία είναι ενσωματωμένη σε έναν περιβαλλοντικό χώρο διάστασης n, γενικά έναν ευκλείδειο χώρο, έναν αφινικό χώρο ή έναν προβολικό χώρο.^[1] Οι υπερεπιφάνειες μοιράζονται, με τις επιφάνειες σε έναν τρισδιάστατο χώρο, την ιδιότητα να ορίζονται από μια μοναδική Άρρητη συνάρτηση, τουλάχιστον τοπικά (κοντά σε κάθε σημείο), και μερικές φορές συνολικά.^[2]

Μια υπερεπιφάνεια σε έναν (ευκλείδειο, αφινικό ή προβολικό) χώρο διάστασης δύο είναι μια επίπεδη καμπύλη. Σε ένα χώρο τριών διαστάσεων, είναι μια επιφάνεια.

Επί παραδείγματι, η εξίσωση

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0

ορίζει μια αλγεβρική υπερεπιφάνεια διάστασης $n - 1$ στον Ευκλείδειο χώρο διάστασης $n$ . Αυτή η υπερεπιφάνεια είναι επίσης μια ομαλή πολλαπλότητα και ονομάζεται υπερσφαίρα ή $(n - 1)$ -σφαίρα^[3].

Ομαλή υπερεπιφάνεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια υπερεπιφάνεια που είναι μια ομαλή πολλαπλότητα ονομάζεται ομαλή υπερεπιφάνεια.

Στον $R n$ , μια λεία υπερεπιφάνεια είναι προσανατολισμένη^[4] Κάθε συνδεδεμένη συμπαγής λεία υπερεπιφάνεια είναι ένα σύνολο επιπέδων και διαχωρίζει τον Rⁿ σε δύο συνδεδεμένες συνιστώσες- αυτό σχετίζεται με το θεώρημα διαχωρισμού Τζόρνταν-Μπρούβερ^[5].

Ομοπαραλληλική αλγεβρική υπερεπιφάνεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια αλγεβρική υπερεπιφάνεια είναι μια αλγεβρική ποικιλία που μπορεί να οριστεί από μια απλή άρρητη εξίσωση της μορφής

p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,

όπου $p$ είναι ένα πολυμεταβλητό πολυώνυμο. Γενικά το πολυώνυμο υποτίθεται ότι είναι μη αναγωγίσιμο. Όταν αυτό δεν συμβαίνει, η υπερεπιφάνεια δεν είναι μια αλγεβρική ποικιλία, αλλά μόνο ένα αλγεβρικό σύνολο. Μπορεί να εξαρτάται από τους συγγραφείς ή το πλαίσιο αν ένα αναγώγιμο πολυώνυμο ορίζει μια υπερεπιφάνεια. Για την αποφυγή της ασάφειας, χρησιμοποιείται συχνά ο όρος μη αναγωγίσιμη υπερεπιφάνεια.

Όπως και για τις αλγεβρικές ποικιλίες, οι συντελεστές του καθοριστικού πολυωνύμου μπορούν να ανήκουν σε οποιοδήποτε σταθερό πεδίο $k$ , και τα σημεία της υπερεπιφάνειας είναι τα μηδενικά του p στον Ομοπαραλληλικό χώρο $K^{n},$ όπου $K$ είναι μια αλγεβρικά κλειστή επέκταση του $K$ .

Μια υπερεπιφάνεια μπορεί να έχει ιδιομορφίες, οι οποίες είναι τα κοινά μηδενικά, αν υπάρχουν, του καθοριστικού πολυωνύμου και των μερικών παραγώγων του. Ειδικότερα, μια πραγματική αλγεβρική υπερεπιφάνεια δεν είναι απαραίτητα πολλαπλότητα.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι υπερεπιφάνειες έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες που δεν μοιράζονται με άλλες αλγεβρικές ποικιλίες.^[6]

Μία από τις βασικές τέτοιες ιδιότητες είναι το Θεώρημα των μηδενικών του Χίλμπερτ, το οποίο ισχυρίζεται ότι μια υπερεπιφάνεια περιέχει ένα δεδομένο αλγεβρικό σύνολο εάν και μόνο εάν το καθοριστικό πολυώνυμο της υπερεπιφάνειας έχει δύναμη που ανήκει στο ιδανικό που παράγεται από τα καθοριστικά πολυώνυμα του αλγεβρικού συνόλου.

Ένα επακόλουθο αυτού του θεωρήματος είναι ότι, αν δύο μη αναγώγιμα πολυώνυμα (ή γενικότερα δύο πολυώνυμα χωρίς τετράγωνα) ορίζουν την ίδια υπερεπιφάνεια, τότε το ένα είναι το γινόμενο του άλλου με μια μη μηδενική σταθερά.

Οι υπερεπιφάνειες είναι ακριβώς οι υποδιαστολές διάστασης $n - 1$ ενός συναφούς χώρου διάστασης $n$ . Αυτή είναι η γεωμετρική ερμηνεία του γεγονότος ότι, σε έναν πολυωνυμικό δακτύλιο πάνω από ένα πεδίο, το ύψος ενός ιδανικού είναι 1 αν και μόνο αν το αν το ιδεώδες είναι κύριο ιδεώδες. Στην περίπτωση των πιθανώς αναγώγιμων υπερεπιφανειών, το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: οι υπερεπιφάνειες είναι ακριβώς τα αλγεβρικά σύνολα των οποίων όλες οι μη αναγώγιμες συνιστώσες έχουν διάσταση $n - 1$ .

Πραγματικά και ρητά σημεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια πραγματική υπερεπιφάνεια είναι μια υπερεπιφάνεια που ορίζεται από ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή το αλγεβρικά κλειστό πεδίο πάνω στο οποίο ορίζονται τα σημεία είναι γενικά το πεδίο $\mathbb {C}$ των μιγαδικών αριθμών. Τα πραγματικά σημεία μιας πραγματικής υπερεπιφάνειας είναι τα σημεία που ανήκουν στο $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.$ . Το σύνολο των πραγματικών σημείων μιας πραγματικής υπερεπιφάνειας είναι το πραγματικό μέρος της υπερεπιφάνειας. Συχνά, αφήνεται στα συμφραζόμενα αν ο όρος υπερεπιφάνεια αναφέρεται σε όλα τα σημεία ή μόνο στο πραγματικό μέρος.

Αν οι συντελεστές του καθοριστικού πολυωνύμου ανήκουν σε ένα πεδίο $k$ που δεν είναι αλγεβρικά κλειστό (συνήθως το πεδίο των ρητών αριθμών, ένα πεπερασμένο πεδίο ή ένα πεδίο αριθμών), λέμε ότι η υπερεπιφάνεια ορίζεται πάνω στο $k$ , και τα σημεία που ανήκουν στο $k^{n}$ είναι ρητά πάνω στο $k$ (στην περίπτωση του πεδίου των ρητών αριθμών, το "πάνω στο $k$ " γενικά παραλείπεται).

Παραδείγµατος χάριν, η φανταστική $n$ -sphere που ορίζεται από την εξίσωση

x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0

είναι μια πραγματική υπερεπιφάνεια χωρίς κανένα πραγματικό σημείο, η οποία ορίζεται στους ρητούς αριθμούς. Δεν έχει κανένα ρητό σημείο, αλλά έχει πολλά σημεία που είναι ρητά πάνω από τους ρητούς αριθμούς Γκάους.

Προβολική αλγεβρική υπερεπιφάνεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια προβολική (αλγεβρική) υπερεπιφάνεια διάστασης $n - 1$ σε έναν προβολικό χώρο διάστασης $n$ πάνω από ένα πεδίο $k$ ορίζεται από ένα ομογενές πολυώνυμο $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ in $n + 1$ σε $n + 1$ απροσδιόριστα. Ως συνήθως, ομοιογενές πολυώνυμο σημαίνει ότι όλα τα μονοώνυμα του $P$ έχουν τον ίδιο βαθμό, ή, ισοδύναμα ότι $P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ για κάθε σταθερά $c$ , όπου d είναι ο βαθμός του πολυωνύμου. Τα σημεία points της υπερεπιφάνειας είναι τα σημεία του προβολικού χώρου των οποίων οι προβολικές συντεταγμένες είναι μηδενικά του $P$ ..

Αν επιλέξουμε το υπερεπίπεδο της εξίσωσης $x_{0}=0$ ως υπερεπίπεδο στο άπειρο, το συμπλήρωμα αυτού του υπερεπιπέδου είναι ένας αφινικός χώρος και τα σημεία της προβολικής υπερεπιφάνειας που ανήκουν σε αυτόν τον αφινικό χώρο σχηματίζουν μια αφινική υπερεπιφάνεια της εξίσωσης $P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ . Αντίστροφα, δεδομένης μιας affine υπερεπιφάνειας της εξίσωσης $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ ορίζει μια προβολική υπερεπιφάνεια, που ονομάζεται προβολική της ολοκλήρωση, της οποίας η εξίσωση προκύπτει από την ομογενοποίηση της $P$ . Δηλαδή, η εξίσωση της προβολικής ολοκλήρωσης είναι $P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ με

P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),

όπου $d$ είναι ο βαθμός του $P$ .

Αυτές οι δύο διαδικασίες, η προβολική ολοκλήρωση και ο περιορισμός σε έναν αφινικό υποχώρο, είναι αντίστροφες η μία προς την άλλη. Επομένως, μια αφινική υπερεπιφάνεια και η προβολική της ολοκλήρωση έχουν ουσιαστικά τις ίδιες ιδιότητες και συχνά θεωρούνται ως δύο οπτικές γωνίες της ίδιας υπερεπιφάνειας.

Ωστόσο, μπορεί να συμβεί μια αφινική υπερεπιφάνεια να είναι μη ιδιαζουσα, ενώ η προβολική της ολοκλήρωση να έχει ιδιαζοντα σημεία. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η αφινική επιφάνεια είναι μονήρης στο άπειρο. Για παράδειγμα, ο κυκλικός κύλινδρος της εξίσωσης