Συντεταγμένες γραμμής

Στη γεωμετρία, οι συντεταγμένες γραμμής χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν τη θέση μιας ευθείας, όπως ακριβώς οι συντεταγμένες σημείου (ή απλώς οι συντεταγμένες) χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν τη θέση ενός σημείου.

Γραμμές στο επίπεδο

Υπάρχουν διάφοροι πιθανοί τρόποι για να καθορίσετε τη θέση μιας γραμμής στο επίπεδο. Ένας απλός τρόπος είναι με το ζεύγος (m', b) όπου η εξίσωση της ευθείας είναι y = mx + b. Εδώ m είναι η κλίση και b είναι η y-αποτέμνουσα . Αυτό το σύστημα καθορίζει συντεταγμένες για όλες τις ευθείες που δεν είναι κατακόρυφες. Ωστόσο, είναι πιο συνηθισμένο και απλούστερο αλγεβρικά να χρησιμοποιούμε συντεταγμένες (l, m) όπου η εξίσωση της ευθείας είναι lx + my + 1 = 0. Αυτό το σύστημα καθορίζει συντεταγμένες για όλες τις ευθείες εκτός από εκείνες που περνούν από την αρχή. Οι γεωμετρικές ερμηνείες των l και m είναι τα αρνητικά αντίστροφα των x και y-αποτέμνουσα αντίστοιχα.

Ο αποκλεισμός των ευθειών που διέρχονται από την αρχή μπορεί να επιλυθεί με τη χρήση ενός συστήματος τριών συντεταγμένων (l, m, n) για τον προσδιορισμό της ευθείας με την εξίσωση lx + my + 1 = 0. Εδώ τα l και m δεν μπορεί να είναι και τα δύο 0. Σε αυτή την εξίσωση, μόνο οι λόγοι μεταξύ των l, m και n είναι σημαντικοί, με άλλα λόγια αν οι συντεταγμένες πολλαπλασιαστούν με ένα μη μηδενικό κλιμάκιο τότε η γραμμή που αναπαρίσταται παραμένει η ίδια. Έτσι (l, m, n) είναι ένα σύστημα ομογενών συντεταγμένων για την ευθεία.

Αν τα σημεία στο πραγματικό προβολικό επίπεδο αναπαρίστανται με ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z), η εξίσωση της ευθείας είναι lx + my + nz = 0, εφόσον (l, m, n) ≠ (0,0,0) . Συγκεκριμένα, η συντεταγμένη γραμμής (0, 0, 1) αναπαριστά την γραμμή z = 0, η οποία είναι η γραμμή στο άπειρο στο προβολικό επίπεδο. Οι συντεταγμένες της γραμμής (0, 1, 0) και (1, 0, 0) αντιπροσωπεύουν τους άξονες x και y αντίστοιχα.

Εφαπτομενική εξίσωση

Ακριβώς όπως η φ(x, y) = 0 μπορεί να αναπαραστήσει μια καμπύλη ως υποσύνολο των σημείων στο επίπεδο, η εξίσωση φ(l, m) = 0 αναπαριστά ένα υποσύνολο των ευθειών στο επίπεδο. Το σύνολο των γραμμών στο επίπεδο μπορεί, με μια αφηρημένη έννοια, να θεωρηθεί ως το σύνολο των σημείων σε ένα προβολικό επίπεδο, το δυϊκό του αρχικού επιπέδου. Η εξίσωση φ(l, m) = 0 αντιπροσωπεύει τότε μια καμπύλη στο δυϊκό επίπεδο.

Για μια καμπύλη f(x, y) = 0 στο επίπεδο, οι εφαπτόμενες στην καμπύλη σχηματίζουν μια καμπύλη στο διπλό χώρο που ονομάζεται διπλή καμπύλη. Αν φ(l, m) = 0 είναι η εξίσωση της διπλής καμπύλης, τότε ονομάζεται εφαπτομενική εξίσωση, για την αρχική καμπύλη. Μια δεδομένη εξίσωση φ(l, m) = 0 αντιπροσωπεύει μια καμπύλη στο αρχικό επίπεδο που προσδιορίζεται ως η περιβάλλουσα των ευθειών που ικανοποιούν την εξίσωση αυτή. Αντίστοιχα, αν η φ(l, m, n) είναι μια ομογενής συνάρτηση, τότε η φ(l, m, n) = 0 αντιπροσωπεύει μια καμπύλη στο διπλό χώρο που δίνεται με ομογενείς συντεταγμένες και μπορεί να ονομαστεί ομογενής εφαπτομενική εξίσωση της περιβάλλουσας καμπύλης.

Οι εφαπτομενικές εξισώσεις είναι χρήσιμες στη μελέτη των καμπυλών που ορίζονται ως περιβάλλουσες, όπως ακριβώς οι καρτεσιανές εξισώσεις είναι χρήσιμες στη μελέτη των καμπυλών που ορίζονται ως τόποι.

Εφαπτομενική εξίσωση ενός σημείου

Μια γραμμική εξίσωση σε συντεταγμένες γραμμής έχει τη μορφή al + bm + c = 0, όπου a, b και c είναι σταθερές. Ας υποθέσουμε ότι (l, m) είναι μια ευθεία που ικανοποιεί την εξίσωση αυτή. Αν το c δεν είναι 0 τότε lx + my + 1 = 0, όπου x = a/c και y = b/c, οπότε κάθε ευθεία που ικανοποιεί την αρχική εξίσωση διέρχεται από το σημείο (x, y). Αντίστροφα, κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο (x, y) ικανοποιεί την αρχική εξίσωση, οπότε al + bm + c = 0 είναι η εξίσωση του συνόλου των ευθειών που διέρχεται από το σημείο (x, y). Για ένα δεδομένο σημείο (x, y), η εξίσωση του συνόλου των ευθειών που το διατρέχουν είναι lx + my + 1 = 0, οπότε αυτό μπορεί να οριστεί ως η εφαπτομενική εξίσωση του σημείου. Ομοίως, για ένα σημείο (x, y, z) που δίνεται σε ομογενείς συντεταγμένες, η εξίσωση του σημείου σε ομογενείς εφαπτομενικές συντεταγμένες είναι lx + my + nz = 0.

Τύποι

Η τομή των ευθειών (l₁, m₁) και (l₂, m₂) είναι η λύση των γραμμικών εξισώσεων

$l_{1}x+m_{1}y+1=0$

$l_{2}x+m_{2}y+1=0.$

Σύμφωνα με τον κανόνα του Κράμερ, η λύση είναι

$x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\,y=-{\frac {l_{1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.$

Οι γραμμές (l₁, m₁), (l₂, m₂) και (l₃, m₃) είναι ταυτόχρονες γραμμές όταν η ορίζουσα

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}=0.$

Για ομογενείς συντεταγμένες, η τομή των ευθειών (l₁, m₁, n₁) και (l₂, m₂, n₂) είναι

$(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\,l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\,l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}).$

Οι γραμμές (l₁, m₁, n₁), (l₂, m₂, n₂) και (l₃, m₃, n₃) είναι ταυτόχρονες γραμμές όταν η ορίζουσα

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.$

Αντίστροφα, οι συντεταγμένες της ευθείας που περιέχει τις θέσεις (x₁, y₁, z₁) και (x₂, y₂, z₂) είναι οι εξής

$(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).$

Γραμμές στον τρισδιάστατο χώρο

Για δύο δεδομένα σημεία στο πραγματικό προβολικό επίπεδο, (x₁, y₁, z₁) και (x₂, y₂, z₂), οι τρεις ορίζουσες

$y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$

καθορισμό της προβολικής γραμμής που τις περιέχει.

Παρομοίως, για δύο σημεία στο RP³, (x₁, y₁, z₁, w₁) και (x₂, y₂, z₂, w₂), η γραμμή που τα περιέχει καθορίζεται από τις έξι ορίζουσες

$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\,x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},\,y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\,y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\,z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.$

Αυτή είναι η βάση για ένα σύστημα ομογενών γραμμικών συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο που ονομάζεται συντεταγμένες Πλάκερ. Έξι αριθμοί σε ένα σύνολο συντεταγμένων αντιπροσωπεύουν μια γραμμή μόνο όταν ικανοποιούν μια πρόσθετη εξίσωση. Αυτό το σύστημα απεικονίζει τον χώρο των γραμμών στον τρισδιάστατο χώρο στον προβολικό χώρο RP⁵, αλλά με την πρόσθετη απαίτηση ο χώρος των γραμμών να αντιστοιχεί στο τετράγωνο Κλάιν, το οποίο είναι μια πολλαπλότητα τεσσάρων διαστάσεων.

Γενικότερα, οι γραμμές στον n-διάστατο προβολικό χώρο καθορίζονται από ένα σύστημα n(n − 1)/2 ομογενών συντεταγμένων που ικανοποιούν ένα σύνολο (n − 2)(n − 3)/2 συνθηκών, με αποτέλεσμα μια πολλαπλότητα διάστασης 2n− 2.

Με μιγαδικούς αριθμούς

Ο Ισαάκ Γιάγκλομ έδειξε πώς οι δυϊκοί αριθμοί παρέχουν συντεταγμένες για προσανατολισμένες γραμμές στο ευκλείδειο επίπεδο και οι διαιρεμένοι μιγαδικοί αριθμοί σχηματίζουν συντεταγμένες γραμμών για το υπερβολικό επίπεδο. Οι συντεταγμένες εξαρτώνται από την παρουσία μιας αρχής και μιας γραμμής αναφοράς σε αυτήν. Στη συνέχεια, δεδομένης μιας αυθαίρετης γραμμής οι συντεταγμένες της βρίσκονται από την τομή της με τη γραμμή αναφοράς. Χρησιμοποιούνται η απόσταση s από την αρχή μέχρι την τομή και η γωνία κλίσης θ μεταξύ των δύο ευθειών:

• $z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(1+s\epsilon )$ is the dual number για μια ευκλείδεια γραμμή, και
• $z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(\cosh s+j\sinh s)$ είναι ο διαιρεμένος μιγαδικός αριθμός για μια γραμμή στο επίπεδο Λομπατσέφσκι.

Δεδομένου ότι υπάρχουν γραμμές υπερπαράλληλες προς την ευθεία αναφοράς στο επίπεδο Λομπατσέφσκι, χρειάζονται και αυτές συντεταγμένες: Ας υποθέσουμε ότι s είναι η απόσταση από την αρχή μέχρι αυτή την κάθετο, και d είναι το μήκος του τμήματος μεταξύ της γραμμής αναφοράς και της συγκεκριμένης ευθείας.

• $z=\left(\tanh {\frac {d}{2}}\right)(\sinh s+j\cosh s)$ υποδηλώνει την υπερπαράλληλη γραμμή.

Οι κινήσεις της γραμμικής γεωμετρίας περιγράφονται με γραμμικούς κλασματικούς μετασχηματισμούς στα κατάλληλα μιγαδικά επίπεδα.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Ορίζουσα
• Περιβάλλουσα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Coordinate Geometry for JEE Advanced, 3E (Free Sample)
• Applied Linear Algebra
• The Elements Of Co-ordinate Geometry By S.L. Loney | Cartesian and Polar ...
• The Elements of Coordinate Geometry: In Three Parts: 1. Cartesian Geometry ...
• Linear Algebra and Geometry
• Blackie's Dictionary of Mathematics
• Geometrical Analysis, and Geometry of Curve Lines: Being Volume Second of a Curve Lines

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (στα γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209. 
• Adams, Robert A.· Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. σελ. 744. ISBN 978-0-321-54928-0. 
• «Notations». Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (στα French). 
• Yates, R. C. (1952). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. σελίδες 123–126. 
• Baker, Henry Frederick (1923), Principles of geometry. Volume 3. Solid geometry. Quadrics, cubic curves in space, cubic surfaces., Cambridge Library Collection, Cambridge University Press, σελ. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, https://archive.org/stream/principlesofgeom03bake#page/56/mode/2up . Reprinted 2010.
• Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon. σελ. 390.