Περιβάλλουσα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Περιβάλλουσα
Ταξινόμηση
Dewey 516
MSC2010 51-XX
Κατασκευή της περιβάλλουσας μιας οικογένειας καμπυλών.

Περιβάλλουσα ονομάζεται η καμπύλη ή η επιφάνεια που περιβάλλει όλες τις καμπύλες ή επιφάνειες τις οποίες παριστάνει μια εξίσωση, όταν η παράμετρος που υπάρχει μέσα σ` αυτήν την εξίσωση, παίρνει όλες τις δυνατές τιμές.

Στη γεωμετρία, η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών στο επίπεδο είναι μια καμπύλη, η οποία είναι εφαπτόμενη σε κάθε μέλος της οικογένειας σε ένα σημείο. Κλασικά ένα σημείο πάνω στην περιβάλλουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή δύο "γειτονικών" καμπυλών, εννοώντας το όριο των τομών των κοντινών καμπυλών. Αυτή η ιδέα γενικεύεται σε μια περιβάλλουσα των επιπέδων στο χώρο κοκ σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Περιβάλλουσα οικογένειας καμπυλών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ότι κάθε καμπύλη Ct στην οικογένεια δίνεται από ft(xy)=0, όπου t είναι μία παράμετρος. Γράφουμε F(txy)=ft(xy) και υποθέτουμε ότι η F είναι παραγωγίσιμη.

Η περιβάλλουσα της οικογένειας Ct ορίζεται τότε ως το σύνολο των σημείων για τα οποία

για κάποια τιμή του t,

όπου είναι η μερική παράγωγος της F ως προς το t.

Να σημειωθεί ότι αν t καιu, tu είναι δυο τιμές της παραμέτρου τότε η τομή των καμπυλών Ct και Cu δίνεται από

η ισάξια

Έχοντας u→t παίρνουμε τον παραπάνω ορισμό.

Μια σημαντική ειδική περίπτωση συμβαίνει όταν η F(txy) είναι ένα πολυώνυμο στο t. Αυτό περιλαμβάνει με την απαλοιφή των παρονομαστών, την περίπτωση που F(txy) είναι μια ρητή συνάρτηση στο t. Σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός ισοδυναμεί με το t να είναι η διπλή ρίζα της F(txy), ώστε η εξίσωση της περιβάλλουσας μπορεί να βρεθεί θέτοντας τη διακρίνουσα της F στο 0.

Για παράδειγμα, έστω ότι Ct είναι η ευθεία της οποίας οι τομές με x και y είναι t και 1−t, αυτό φαίνεται από την εικόνα επάνω. Η εξίσωση της Ct είναι

ή, απαλείφοντας τα κλάσματα

Η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι τότε

Συχνά όταν η F δεν είναι ρητή συνάρτηση της παραμέτρου μπορεί να περιοριστεί σε αυτή την περίπτωση από μία κατάλληλη αντικατάσταση. Για παράδειγμα αν η οικογένεια δίνεται από τον τύπο Cθ με μια εξίσωση της μορφής

u(xy)cosθ+v(xy)sinθ=w(xy),

μετά θέτοντας t=eiθ, cosθ=(t+1/t)/2, sinθ=(t-1/t)/2i αλλάζουμε την εξίσωση της καμπύλης σε

ή

Η εξίσωση της περιβάλλουσας δίνεται τότε με το να θέσουμε τη διακρίνουσα ίση με 0:

ή

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Envelope (mathematics) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).