Συνδιάσταση

Στα μαθηματικά, η συνδιάσταση είναι μια βασική γεωμετρική ιδέα που εφαρμόζεται σε υποχώρους σε διανυσματικούς χώρους, σε υποπολλαπλότητες στις πολλαπλότητες και σε κατάλληλα υποσύνολα αλγεβρικών ποικιλιών.

Για τις αφινικές και προβολικές αλγεβρικές ποικιλίες, η συνδιάσταση ισούται με το ύψος του ιδανικού ορισμού. Για το λόγο αυτό, το ύψος ενός ιδεώδους ονομάζεται συχνά συνδιάσταση.

Η διπλή έννοια είναι η σχετική διάσταση.

Ορισμός

Η συνδιάσταση είναι μια σχετική έννοια: ορίζεται μόνο για ένα αντικείμενο μέσα σε ένα άλλο. Δεν υπάρχει " συνδιάσταση ενός διανυσματικού χώρου (μεμονωμένα)", αλλά μόνο η συνδιάσταση ενός διανυσματικού υποχώρου.

Αν ο W είναι ένας γραμμικός υποχώρος ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένων διαστάσεων V, τότε η συνδιάσταση του W στον V είναι η διαφορά μεταξύ των διαστάσεων:

$\operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).$

Είναι το συμπλήρωμα της διάστασης του W, με την έννοια ότι, μαζί με τη διάσταση του W, προστίθεται στη διάσταση του περιβάλλοντος χώρου V:

$\dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).$

Αντίστοιχα, αν το N είναι μια υποπολλαπλότητα ή υποδιάταξη στο M, τότε η συνδιάσταση του N στο M είναι

$\operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).$

Ακριβώς όπως η διάσταση μιας υποπολλαπλότητας είναι η διάσταση της εφαπτομενικής δέσμης (ο αριθμός των διαστάσεων που μπορεί να μετακινηθεί "πάνω" στην υποπολλαπλότητα), η συνδιάσταση είναι η διάσταση της κανονικής δέσμης (ο αριθμός των διαστάσεων που μπορεί να μετακινηθεί "εκτός" της υποπολλαπλότητας).

Γενικότερα, αν ο W είναι ένας γραμμικός υποχώρος ενός (ενδεχομένως άπειρης διάστασης) διανυσματικού χώρου V τότε η συνδιάσταση του W στον V είναι η διάσταση (ενδεχομένως άπειρη) του πηλίκου του διανυσματικού χώρου πηλίκου χώρου V/W, η οποία είναι πιο αφηρημένα γνωστή ως ο συμπυρήνας της ένταξης. Για διανυσματικούς χώρους πεπερασμένων διαστάσεων, αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό

$\operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),$

και είναι διπλή της σχετικής διάστασης ως διάσταση του πυρήνα.

Οι πεπερασμένης συνδιάστασης υποχώροι των απείρως διαστάσεων χώρων είναι συχνά χρήσιμοι στη μελέτη των τοπολογικών διανυσματικών χώρων.

Προσθετικότητα συνδιάστασης και μέτρησης διαστάσεων

Η θεμελιώδης ιδιότητα της συνδιάστασης έγκειται στη σχέση της με την τομή: αν η W₁ έχει συνδιάσταση k₁, και η W₂ έχει συνδιάσταση k₂, τότε αν U είναι η τομή τους με συνδιάσταση j έχουμε

max (k₁, k₂) ≤ j ≤ k₁ + k₂.

Στην πραγματικότητα, το j μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή σε αυτό το εύρος. Αυτή η δήλωση είναι πιο σαφής από τη μετάφραση σε όρους διαστάσεων, επειδή το RHS είναι απλώς το άθροισμα των συνδιαστάσεων. Με άλλα λόγια

συνδιαστάσεις - (το πολύ) να προστεθεί.

Εάν οι υποχώροι ή οι υποπολλαπλότητες τέμνονται εγκάρσια (πράγμα που συμβαίνει γενικά), οι συνδιαστάσεις προστίθενται ακριβώς.

Αυτή η δήλωση ονομάζεται μέτρηση διαστάσεων, ιδιαίτερα στη θεωρία των τομών.

Διπλή ερμηνεία

Από την άποψη του διπλού χώρου, ο λόγος για τον οποίο οι διαστάσεις αθροίζονται είναι αρκετά προφανής. Οι υποχώροι μπορούν να οριστούν από την εξαφάνιση ενός ορισμένου αριθμού γραμμικών συναρτήσεων, οι οποίες αν θεωρήσουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ο αριθμός τους είναι η συνδιάσταση. Επομένως, βλέπουμε ότι το U ορίζεται από την ένωση των συνόλων των γραμμικών συναρτησιακών που ορίζουν το W_i. Αυτή η ένωση μπορεί να εισάγει κάποιο βαθμό γραμμικής εξάρτησης: οι πιθανές τιμές του j εκφράζουν αυτή την εξάρτηση, με το άθροισμα RHS να είναι η περίπτωση όπου δεν υπάρχει εξάρτηση. Αυτός ο ορισμός της συνδιάστασης ως προς τον αριθμό των συναρτήσεων που απαιτούνται για την αποκοπή ενός υποχώρου επεκτείνεται σε καταστάσεις στις οποίες τόσο ο περιβάλλων χώρος όσο και ο υποχώρος είναι άπειρης διάστασης.

Σε διαφορετική διατύπωση, η οποία είναι βασική για κάθε είδους θεωρία τομής, παίρνουμε την ένωση ενός συγκεκριμένου αριθμού περιορισμών. Έχουμε δύο φαινόμενα που πρέπει να προσέξουμε:

1. τα δύο σύνολα περιορισμών μπορεί να μην είναι ανεξάρτητα,
2. τα δύο σύνολα περιορισμών μπορεί να μην είναι συμβατά.

Το πρώτο από αυτά εκφράζεται συχνά ως η αρχή της καταμέτρησης των περιορισμών: αν έχουμε έναν αριθμό Ν παραμέτρων προς ρύθμιση (δηλαδή έχουμε Ν βαθμούς ελευθερίας), και ένας περιορισμός σημαίνει ότι πρέπει να καταναλώσουμε μια παράμετρο για να τον ικανοποιήσουμε, τότε η συνδιάσταση του συνόλου λύσεων είναι το πολύ ο αριθμός των περιορισμών. Δεν περιμένουμε να είμαστε σε θέση να βρούμε μια λύση εάν η προβλεπόμενη συνδιάσταση, δηλαδή ο αριθμός των ανεξάρτητων περιορισμών, υπερβαίνει το Ν (στην περίπτωση της γραμμικής άλγεβρας, υπάρχει πάντα μια τετριμμένη, μηδενική διανυσματική λύση, η οποία επομένως προεξοφλείται).

Το δεύτερο είναι θέμα γεωμετρίας, στο πρότυπο των παράλληλων γραμμών- είναι κάτι που μπορεί να συζητηθεί για γραμμικά προβλήματα με τις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας και για μη γραμμικά προβλήματα στον προβολικό χώρο, στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών.

Στη γεωμετρική τοπολογία

Η συνδιάσταση έχει επίσης κάποια σαφή σημασία στη γεωμετρική τοπολογία: σε μια πολλαπλότητα, η συνδιάσταση 1 είναι η διάσταση της τοπολογικής αποσύνδεσης από μια υποπολλαπλότητα, ενώ η συνδιάσταση 2 είναι η διάσταση της διακλάδωσης και της θεωρίας κόμβων. Στην πραγματικότητα, η θεωρία των πολυδιάστατων πολλαπλοτήτων, η οποία ξεκινά από τη διάσταση 5 και πάνω, μπορεί εναλλακτικά να ειπωθεί ότι ξεκινά από την συνδιάσταση 3, επειδή οι υψηλότερες συνδιαστάσεις αποφεύγουν το φαινόμενο των κόμβων. Δεδομένου ότι η θεωρία της χειρουργικής απαιτεί να εργαστεί κανείς μέχρι τη μεσαία διάσταση, όταν φτάσει κανείς στη διάσταση 5, η μεσαία διάσταση έχει συνδιάσταση μεγαλύτερη από 2, και συνεπώς αποφεύγει τους κόμβους.

Αυτή η ειρωνεία δεν είναι μάταιη: η μελέτη των ενσωματώσεων σε συνδιάσταση 2 είναι θέμα της θεωρίας των κόμβων και είναι δύσκολη, ενώ η μελέτη των ενσωματώσεων σε συνδιάσταση 3 ή περισσότερο προσφέρεται για τα εργαλεία της γεωμετρικής τοπολογίας υψηλών διαστάσεων και είναι ως εκ τούτου, σημαντικά ευκολότερη.

Δημοσιεύσεις

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Codimension», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=C/c022870 
• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third έκδοση), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5 

Δείτε επίσης

• Codimension - Encyclopedia of Math

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Codimension two holomorphic foliations
• Topological obstructions for submanifolds in low codimension