Συνάρτηση ζήτα των Χάσε-Βέιλ

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση ζήτα των Χάσε-Βέιλ που συνδέεται με μια αλγεβρική ποικιλία V που ορίζεται πάνω από ένα αλγεβρικό αριθμητικό πεδίο K είναι μια μερομορφική συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο που ορίζεται ως προς τον αριθμό των σημείων της ποικιλίας μετά από αναγωγή ως προς κάθε πρώτο αριθμό p. Είναι μια συνολική συνάρτηση L που ορίζεται ως γινόμενο Όιλερ τοπικών συναρτήσεων ζήτα.

Οι L-συναρτήσεις των Χάσε-Βέιλ αποτελούν μία από τις δύο κύριες τάξεις συνολικών L-συναρτήσεων, μαζί με τις L-συναρτήσεις που σχετίζονται με αυτομορφικές απεικονίσεις. Υποθετικά, αυτοί οι δύο τύποι συνολικών συναρτήσεων L είναι στην πραγματικότητα δύο περιγραφές του ίδιου τύπου συνολικής συνάρτησης L. Αυτό θα αποτελούσε μια τεράστια γενίκευση της εικασίας των Τανιγιάμα-Βέιλ, η οποία αποτελεί σημαντικό αποτέλεσμα στη θεωρία αριθμών.

Για μια ελλειπτική καμπύλη πάνω από ένα αριθμητικό πεδίο K, η συνάρτηση ζήτα των Χάσε-Βέιλ συνδέεται εικαστικά με την ομάδα των ρητών σημείων της ελλειπτικής καμπύλης πάνω από το K μέσω της εικασίας των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η περιγραφή της συνάρτησης ζήτα Χάσε-Βέιλ "μέχρι έναν πεπερασμένο αριθμό παραγόντων του γινομένου Όιλερ" είναι σχετικά απλή. Ακολουθεί τις αρχικές προτάσεις του Χέλμουτ Χάσε και του Αντρέ Βέιλ, με κίνητρο την περίπτωση όπου το V είναι ένα μόνο σημείο, και τα αποτελέσματα της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν.^[1]^[2]

Παίρνοντας την περίπτωση του K του ρητού αριθμητικού πεδίου Q και του V μιας μη-ιδιάζουσας προβολικής ποικιλίας, μπορούμε για σχεδόν όλους τους πρώτους αριθμούς p να εξετάσουμε την αναγωγή του V modulo p, μια αλγεβρική ποικιλία V_p πάνω στο πεπερασμένο πεδίο F_p με p στοιχεία, απλά μειώνοντας τις εξισώσεις για το V. Σχηματικά, αυτή η αναγωγή είναι απλά η επαναφορά του V κατά μήκος του κανονικού χάρτη Spec F_p → Spec Z. Και πάλι για σχεδόν όλα τα p θα είναι μη-ιδιάζουσα. Ορίζουμε

Z_{V,Q}(s)

να είναι η σειρά Ντίριχλετ της μιγαδικής μεταβλητής s, η οποία είναι το άπειρο γινόμενο των τοπικών συναρτήσεων ζήτα

Z_{V,p}\left(p^{-s}\right)

.

Τότε η $Z_{V,Q}(s)$ , σύμφωνα με τον ορισμό μας, είναι καλά ορισμένη μόνο μέχρι τον πολλαπλασιασμό με ρητές συναρτήσεις σε πεπερασμένο αριθμό $p^{-s}$ .

Δεδομένου ότι η απροσδιοριστία είναι σχετικά ακίνδυνη και έχει μερομορφική συνέχεια παντού, υπάρχει μια έννοια κατά την οποία οι ιδιότητες του Z(s) δεν εξαρτώνται ουσιαστικά από αυτήν. Συγκεκριμένα, ενώ η ακριβής μορφή της συναρτησιακής εξίσωσης για το Z(s), που καταλήγει σε μια κάθετη γραμμή στο μιγαδικό επίπεδο, θα εξαρτάται οπωσδήποτε από τους παράγοντες που "λείπουν", η ύπαρξη κάποιας τέτοιας συναρτησιακής εξίσωσης δεν εξαρτάται.

Ένας πιο εκλεπτυσμένος ορισμός έγινε δυνατός με την ανάπτυξη της étale συνομολογίας- αυτό εξηγεί τι πρέπει να κάνουμε με τους παράγοντες που λείπουν, τους "κακούς παράγοντες αναγωγής". Σύμφωνα με τις γενικές αρχές που είναι ορατές στη θεωρία της διακλάδωσης, οι "κακοί" πρώτοι αριθμοί μεταφέρουν καλές πληροφορίες (θεωρία του αγωγού). Αυτό εκδηλώνεται στη θεωρία étale στο κριτήριο Ογκ-Νερόν-Σαφάρεβιτς για την καλή αναγωγή- δηλαδή ότι υπάρχει καλή αναγωγή, με μια ορισμένη έννοια, σε όλες τις πρίμες p για τις οποίες η αναπαράσταση ρ του Γαλουά στις ομάδες συνομολογίας étale του V είναι αμιγής. Για αυτές, ο ορισμός της τοπικής συνάρτησης ζήτα μπορεί να ανακτηθεί ως προς το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της

\rho (\operatorname {Frob} (p)),

Frob(p) είναι ένα στοιχείο Φρομπένιους για το p. Αυτό που συμβαίνει στο p διακλαδισμένο είναι ότι το ρ είναι μη τετριμμένο στην ομάδα αδράνειας I(p) για το p. Για αυτούς τους πρώτους αριθμούς, ο ορισμός πρέπει να διορθωθεί, παίρνοντας το μεγαλύτερο πηλίκο της παράστασης ρ στην οποία δρα η ομάδα αδράνειας από την τετριμμένη παράσταση. Με αυτή τη βελτίωση, ο ορισμός του Z'(s) μπορεί να βελτιωθεί επιτυχώς από σχεδόν όλα τα p σε όλα τα p που συμμετέχουν στο γινόμενο Όιλερ. Οι συνέπειες για τη συναρτησιακή εξίσωση εκπονήθηκαν από τους Σερ και Ντελίν στα τέλη της δεκαετίας του 1960- η ίδια η συναρτησιακή εξίσωση δεν αποδείχθηκε γενικά.

Εικασία Χάσε-Βέιλ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εικασία Χάσε-Βέιλ δηλώνει ότι η συνάρτηση ζήτα Χάσε-Βέιλ θα πρέπει να επεκτείνεται σε μια μερομορφική συνάρτηση για όλα τα μιγαδικά s και να ικανοποιεί μια συναρτησιακή εξίσωση παρόμοια με εκείνη της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν.^[3] Για ελλειπτικές καμπύλες πάνω από τους ρητούς αριθμούς, η εικασία Χάσε-Βέιλ προκύπτει από το θεώρημα της δομοστοιχείωσης (modularity).

Εικασία των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εικασία των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ δηλώνει ότι ο βαθμός της αβελιανής ομάδας E(K) των σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης E είναι η τάξη του μηδενός της L-συνάρτησης L(E,&nbsp, s) στο s = 1, και ότι ο πρώτος μη μηδενικός συντελεστής στο ανάπτυγμα Τέιλορ της L(E', s) στο s = 1 δίνεται από πιο εκλεπτυσμένα αριθμητικά δεδομένα που συνδέονται με την E πάνω στο K. ^[4] Η εικασία είναι ένα από τα επτά Προβλήματα του Βραβείου της Χιλιετίας που απαριθμούνται από το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι, το οποίο έχει προσφέρει βραβείο 1.000.000 δολαρίων για την πρώτη σωστή απόδειξη.^[5]

Ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το Q[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια ελλειπτική καμπύλη είναι ένας συγκεκριμένος τύπος ποικιλίας. Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη πάνω από το Q με αγωγό N. Τότε, η E έχει καλή αναγωγή σε όλους τους πρώτους p που δεν διαιρούν το N, έχει πολλαπλασιαστική αναγωγή στους πρώτους p που διαιρούν ακριβώς το N (δηλαδή έτσι ώστε το p να διαιρεί το N, αλλά το p² όχι- αυτό γράφεται p || N), και έχει προσθετική αναγωγή αλλού (δηλαδή στους πρώτους όπου το p² διαιρεί το N). Η συνάρτηση ζήτα του E των Χάσε-Βέιλ παίρνει τότε τη μορφή

Z_{E,\mathbf {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,

Εδώ, ζ(s) είναι η συνήθης συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και L(E, s) καλείται η L-συνάρτηση του E/Q, η οποία έχει τη μορφή ^[6]

L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,

όπου, για ένα δεδομένο αρχικό p

L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}

όπου στην περίπτωση της καλής αναγωγής το a_p είναι p + 1 − (αριθμός σημείων της E mod p), ενώ στην περίπτωση της πολλαπλασιαστικής αναγωγής το a_p είναι ±1 ανάλογα με το αν η E έχει διαιρεμένη (με πρόσημο συν) ή μη διαιρεμένη (με πρόσημο μείον) πολλαπλασιαστική αναγωγή στο p. Μια πολλαπλασιαστική αναγωγή της καμπύλης E κατά τον πρώτο p λέγεται διαιρεμένη αν -c₆ είναι τετράγωνο στο πεπερασμένο πεδίο με p στοιχεία^[7].

Υπάρχει μια χρήσιμη σχέση που δεν χρησιμοποιεί τον αγωγό:

1. Αν το p δεν διαιρεί το $\Delta$ (όπου $\Delta$ είναι η διακρίνουσα της ελλειπτικής καμπύλης) τότε το E έχει καλή αναγωγή στο p.

2. Αν το p διαιρεί το $\Delta$ αλλά όχι το $c_{4}$ τότε το E έχει πολλαπλασιαστική κακή αναγωγή στο p.

3. Αν το p διαιρεί τόσο το $\Delta$ όσο και το $c_{4}$ τότε το E έχει προσθετική κακή αναγωγή στο p.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
Tasty Bits of Several Complex Variables (p. 137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.
Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Huckleberry, Alan (2013). «Hans Grauert (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 115: 21–45. doi:10.1365/s13291-013-0061-7.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «Wayback Machine» (PDF). web.archive.org. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Οκτωβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 29 Απριλίου 2024. CS1 maint: Unfit url (link)
↑ «Hasse-Weil zeta functions of $SL_{2}$ -character varieties of 3-manifolds» (PDF).
↑ «Zeta functions in algebraic geometry» (PDF).
↑ Wiles, Andrew (2006). «The Millennium prize problems». Στο: Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, επιμ. The Millennium prize problems. American Mathematical Society, σσ. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8. http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf. Αρχειοθετήθηκε 2018-03-29 στο Wayback Machine.
↑ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture at Clay Mathematics Institute
↑ Section C.16 of Silverman, Joseph H. (1992), The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96203-0
↑ «Number theory - Testing to see if $\ell$ is of split or nonsplit multiplicative reduction».

Πηγές

François Bruhat (1963). Lectures on some aspects of p-adic analysis. Tata Institute of Fundamental Research.
Serre, Jean-Pierre (1969–1970). «Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)». Séminaire Delange-Pisot-Poitou 19.

[1] «Wayback Machine» (PDF). web.archive.org. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Οκτωβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 29 Απριλίου 2024. CS1 maint: Unfit url (link)

[2] «Hasse-Weil zeta functions of $SL_{2}$ -character varieties of 3-manifolds» (PDF).

[3] «Zeta functions in algebraic geometry» (PDF).

[4] Wiles, Andrew (2006). «The Millennium prize problems». Στο: Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, επιμ. The Millennium prize problems. American Mathematical Society, σσ. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8. http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf. Αρχειοθετήθηκε 2018-03-29 στο Wayback Machine.

[5] Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture at Clay Mathematics Institute

[6] Section C.16 of Silverman, Joseph H. (1992), The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96203-0

[7] «Number theory - Testing to see if $\ell$ is of split or nonsplit multiplicative reduction».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]