Συζήτηση χρήστη:Nafsika08

Η Togliatti επιφάνεια είναι μία αλγεβρική επιφάνεια πέμπτου βαθμού. Η εικόνα αναπαριστά ένα κομμάτι του πραγματικού γεωμετρικού τόπου

{{Γενική γεωμετρία}} Η Αλγεβρική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών (Μαθηματικά), κλασική μελέτη των ριζών των πολυωνυμικών εξισώσεων (Πολυώνυμο) .Η σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία βασίζεται σε πιο αφηρημένες τεχνικές της άλγεβρας,ιδιαίτερα στην αντιμεταθετικήΑντιμεταθετική άλγεβρα άλγεβρα, με τη γλώσσα και τα προβλήματα της γεωμετρίαςΓεωμετρία.

Τα βασικά αντικείμενα της μελέτης στην αλγεβρική γεωμετρία είναι oι αλγεβρικές πολλαπλότητες, οι οποίες είναι γεωμετρικά αποδείξεις των λύσεων των συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων. Παραδείγματα από τα πιο μελετημένες κατηγορίες αλγεβρικών πολλαπλότητων είναι: αλγεβρικές επίπεδες καμπύλες, το οποίο περιλαμβάνει τις γραμμές (Γραμμή), κύκλους (Κύκλος), παραβολές (Παραβολή (γεωμετρία)), ελλείψεις (Έλλειψη), υπερβολές (Υπερβολή (γεωμετρία)), κυβικές καμπύλες όπως ελλειπτικές καμπύλες (Ελλειπτική καμπύλη) και καμπύλες τεταρτου βαθμου όπως λημνισκοι, και ωοειδεις του Cassini . Ένα σημείο του επιπέδου ανήκει σε μια αλγεβρική καμπύλη, αν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν μια συγκεκριμένη πολυωνυμική εξίσωση. Βασικά ερωτήματα αφορούν τη μελέτη των σημείων ειδικού ενδιαφέροντος όπως τα ιδιάζοντα σημεία, τα σημεία καμπής και τα σημεία στο άπειρο. Πιο προχωρημένα ερωτήματα αφορούν την τοπολογία ([[Τοπολογία]) της καμπύλης και των σχέσεων μεταξύ των καμπυλών που δίδονται από διαφορετικές εξισώσεις.

Η αλγεβρική γεωμετρία κατέχει κεντρική θέση στα σύγχρονα μαθηματικά και έχει πολλαπλές εννοιολογικές συνδέσεις με ποικίλα πεδία όπως την σύνθετη ανάλυση, την τοπολογία και την θεωρία αριθμών. Αρχικά η μελέτη των συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων σε διάφορες μεταβλητές, το θέμα της Αλγεβρικής γεωμετρίας ξεκινά όταν εξίσωση επίλυση αφήνει ανοικτά, και γίνεται ακόμη πιο σημαντικό το να κατανοήσουν τις εγγενείς ιδιότητες του συνόλου των λύσεων του συστήματος των εξισώσεων, από το να βρουν μια συγκεκριμένη λύση, αυτό οδηγεί σε μερικές από τις βαθύτερες περιοχές σε όλα τα μαθηματικά, τόσο σε θεωρητικό όσο και από την άποψη της τεχνικής.

Κατά τον 20ο αιώνα, η αλγεβρική γεωμετρία έχει χωριστεί σε διάφορες υποπεριοχές.

• Το κύριο ρεύμα της Αλγεβρικής γεωμετρίας είναι αφιερωμένο στη μελέτη των πολύπλοκων σημείων των αλγεβρικό πολλαπλοτήτων και, γενικότερα, στα σημεία με συντεταγμένες σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα.
• Η μελέτη των σημείων των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων με συντεταγμένες στον τομέα των ρητών αριθμών ή σε ένα πεδίο αριθμού έγινε αριθμητικη γεωμετρία (ή πιο κλασικά Diophantine γεωμετρία), ένα υποπεδίο της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.
• Η μελέτη των πραγματικών σημείων μιας αλγεβρικής πολλαπλότητας είναι το αντικείμενο της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας.
• Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας της ιδιομορφίας είναι αφιερωμένο στις ιδιομορφίες των αλγεβρικών πολλαπλοτητων.
• Με την άνοδο των υπολογιστών,ένας υπολογιστικός αλγεβρικός γεωμετρικός τομέας έχει προκύψει, ο οποίος βρίσκεται στη διασταύρωση της αλγεβρικής γεωμετρίας και της άλγεβρας υπολογιστών. Αποτελείται ουσιαστικά από την ανάπτυξη αλγορίθμων και λογισμικού για τη μελέτη και την εύρεση των ιδιοτήτων των ρητά δοσμένων αλγεβρικών ποικιλιών.

Μεγάλο μέρος της ανάπτυξης του κύριου ρεύματος της Αλγεβρικής γεωμετρίας του 20ου αιώνα σημειώθηκε μέσα σε ένα αφηρημένο αλγεβρικό πλαίσιο, με την αυξανόμενη έμφαση στις «εγγενείς» ιδιότητες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων που δεν εξαρτώνται από κάποιο συγκεκριμένο τρόπο ενσωμάτωσης της πολλαπλότητας σε ένα ατμοσφαιρικό χώρο συντεταγμένων,αυτό έχει παράλληλες εξελίξεις στην τοπολογία, τη διαφορική και τη μιγαδική γεωμετρία. Ένα σημαντικό επίτευγμα αυτής της αφηρημένης αλγεβρική γεωμετρίας είναι η θεωρία του συστήματος Grothendieck, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να χρησιμοποιήσει θεωρία δεσμών για τη μελέτη αλγεβρικών πολλαπλοτήτων με έναν τρόπο που είναι αρκετα όμοιος με τη χρήση του στη μελέτη των διαφορικών και αναλυτικών συλλεκτών. Αυτό επιτυγχάνεται με την επέκταση της έννοιας του σημείου: Στην κλασσική αλγεβρική γεωμετρία, ένα σημείο μιας βελτιωμένης πολλαπλότητας μπορεί να προσδιοριστεί, μέσω του θεωρηματος του μηδενικου τοπου του Χίλμπερτ, με ένα μέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων, ενώ τα σημεία του αντίστοιχου αφινικού συστήματος είναι όλα τα κύρια ιδεώδη αυτού του δακτυλίου. Αυτό σημαίνει ότι ένα σημείο ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να είναι είτε ένα σύνηθες σημείο ή μια υποπολλαπλοτητα. Η προσέγγιση αυτή επιτρέπει επίσης την ενοποίηση της γλώσσας και τα εργαλεία της κλασικής αλγεβρικής γεωμετρίας, κυρίως ασχολούνται με τα μιγαδικά σημεία,και την αλγεβρική θεωρία αριθμών. Η απόδειξη του Wiles της μακρόχρονης εικασίας που ονομάζεται τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι ένα παράδειγμα της ισχυς αυτής της προσέγγισης.

Βασικές έννοιες

Περισσότερες πληροφορίες: Αλγεβρική πολλαπλότηταΚείμενο με μικρούς χαρακτήρες

Μηδενικά ταυτόχρονα πολυώνυμα

Σφαίρα και λοξός κύκλος

Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, τα κύρια αντικείμενα ενδιαφέροντος είναι τα σύνολα των πολυωνύμων που τείνουν προς το μηδέν, δηλαδή το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν ταυτόχρονα μία ή περισσότερες πολυωνυμικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, η δισδιάστατη σφαίρα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R³ θα μπορούσε να οριστεί ως το σύνολο όλων των σημείων (x, y, z) με x²+y²+z²-1=0

Ένας «λοξός" κύκλος στον R³ μπορεί να οριστεί ως το σύνολο όλων των σημείων (x, y, z) οι οποίες πληρούν τις δύο πολυωνυμικές εξισώσεις

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,$

$x+y+z=0.\,$

Aφινικές πολλαπλότητες

Κύριο άρθρο: Αφινική πολλαπλότητα

Πρώτα ξεκινάμε με ένα k τομέα. Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, αυτό το πεδίο ήταν πάντα το συγκρότημα C αριθμών, αλλά πολλά από τα ίδια τα αποτελέσματα είναι σωστά αν υποθέσουμε μόνο ότι k είναι αλγεβρικά κλειστό. Θεωρούμε τον αφινικό χώρο διάστασης n πάνω από το K, συμβολίζεται Aⁿ (k) (ή πιο απλά Aⁿ, όταν το k είναι σαφές από τα συμφραζόμενα). Όταν κάποιος καθορίζει ένα σύστημα συντεταγμένων, μπορεί κανείς να εντοπίσει μια (k) με kⁿ. Ο σκοπός του ότι δεν λειτουργεί με kⁿ είναι να τονίσει ότι "ξεχνάει" τη δομή χώρου με φορέα knⁿ.

Μία συνάρτηση f:Aⁿ →A¹ l λέγεται πολυωνυμική (ή ομαλή) εάν μπορεί να γραφτεί ως ένα πολυώνυμο, δηλαδή, εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο ρ στον k [x₁, ..., x_n] τέτοιο ώστε f (Μ ) = p (t₁, ..., t_n) για κάθε σημείο Μ με συντεταγμένες (t₁, ..., t_n) σε ένα αρχείο. Η ιδιότητα μιας συνάρτησης να είναι πολυωνυμική (ή ομαλή) δεν εξαρτάται από την επιλογή ενός συστήματος συντεταγμένων σε ένα Αⁿ.

Επομένως ομαλές συναρτήσεις του αφινικού n-χώρου είναι ακριβώς το ίδιο με πολυώνυμο πάνω από k σε n πολλαπλότητες. Θα αναφερθούμε στο σύνολο όλων των ομαλών ιδιοτήτων σε μια Αⁿως k[Aⁿ.

Λέμε ότι ένα πολυώνυμο μηδενίζεται σε ένα σημείο, αν υπολογίζοντας το σε εκείνο το σημείο μας δωσει μηδέν. Έστω S ένα σύνολο πολυωνύμων στον kAⁿ.Το σύνολο μηδενισμού S ( ή τόπος μηδενισμού) είναι το σύνολο V (S) από όλα τα σημεία του Αⁿ όπου κάθε πολυώνυμο S εξαφανίζεται. Με άλλα λόγια,

$V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})|\forall p\in S,p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}.\,$

Ένα υποσύνολο Aⁿ το οποίο είναι V (S), για κάποιο S, ονομάζεται αλγεβρικό σύνολο. Το V σημαίνει πολλαπλότητα (ένα συγκεκριμένο είδος αλγεβρικού συνόλου που ορίζεται παρακάτω). Διαλέγοντας ένα υποσύνολο U του Aⁿ, μπορεί κανείς να ανακτήσει το σύνολο των πολυωνύμων που παράγουν. Αν U είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του Aⁿ,ορίζουμε το Ι (U) να είναι το σύνολο όλων των πολυωνύμων των οποίων το σύνολο μηδενισμού περιέχει U. Το I συμβολίζει ιδεώδη: αν δύο πολυώνυμα f και g μηδενίζονται από το U, τότε η f + g μηδενιζεται στο U , και αν η h είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο, τότε hf μηδενίζεται στο U, γι 'αυτό to Ι(U) είναι πάντα ένα ιδεώδες του k[Αⁿ].

Δύο φυσικές ερωτήσεις είναι:

• Παίρνοντας ένα υποσύνολο U του Aⁿ,πότε θα ισχύει U = V (I (U));
• Παίρνοντας ένα σύνολο S από πολυώνυμα,πότε θα ισχύει S = I (V (S));

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα προκύπτει με την εισαγωγή της Zariski τοπολογίας, η τοπολογία του Α^{Κείμενο-εκθέτηςn} του οποίου τα κλειστά σύνολα είναι αλγεβρικα σύνολα, και απεικονίζουν άμεσα την αλγεβρική δομή του k [Αⁿ]. Στη συνέχεια, U = V (Ι (U)) αν και μόνο αν U είναι ένα αλγεβρικό σύνολο ή ισοδύναμα α-Zariski κλειστό σύνολο. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα δίνεται από το χωρο μηδενισμού του Hilbert. Σε μία από τις μορφές της, λέει ότι I (V (S)) είναι η ρίζα του ιδεώδους που παράγεται από S. Σε πιο αφηρημένη γλώσσα, υπάρχει μια σύνδεση Galois, η οποία οδήγησε σε δύο τελεστές περιβλήματος. Μπορούν να προσδιοριστούν, και φυσικά, παίζουν βασικό ρόλο στη θεωρία, το παράδειγμα έχει καταρτιστεί στη σύνδεση Galois.

Για διάφορους λόγους μπορεί να μη θέλουμε πάντα να εργαστούμε με το σύνολο ιδεωδών που αντιστοιχεί σε ένα αλγεβρικό σύνολο U. Hilbert υπονοεί ότι ιδεώδη στο k [Αⁿ] δημιουργούνται πεπερασμένα.

Ένα αλγεβρικό σύνολο καλείται ανάγωγο εάν δεν μπορεί να γραφτεί ως ένωση δύο μικρότερων αλγεβρικών συνόλων. Κάθε αλγεβρικό σύνολο είναι μια πεπερασμένη ένωση ανάγωγων αλγεβρικών συνόλων και αυτή η σύνθεση είναι μοναδική. Έτσι, τα στοιχεία του καλούνται ανάγωγα στοιχεία του αλγεβρικού συνόλου.Ένα μη ανάγωγο αλγεβρικό σύνολο ονομάζεται επίσης πολλαπλότητα. Αποδεικνύεται ότι ένα αλγεβρικό σύνολο είναι μια πολλαπλότητα, αν και μόνο αν μπορεί να οριστεί ως σύνολο μηδενισμού πρωταρχικών ιδεωδών του πολυωνυμικου δακτυλίου.

Μερικοί συγγραφείς δεν κάνουν σαφή διάκριση αναμεσα στα αλγεβρικα συνολα και τις πολλαπλοτητες και χρησιμοποιούν την ανάγωγη πολλαπλότητα για να κάνουν τη διάκριση όταν χρειάζεται.

Ομαλές ιδιότητες

Ακριβώς όπως οι συνεχείς συναρτήσεις είναι οι φυσικές απεικονίσεις για τοπολογικές χώρους, oι ομαλές λειτουργίες είναι οι φυσικές απεικονίσεις για τις Διαφορίσιμες πολλαπλότητες, υπάρχει μια φυσική τάξη των ιδιοτήτων σε ένα αλγεβρικό σύνολο, που ονομάζονται ομαλές ιδιότητες ή πολυωνυμικές ιδιότητες. Μια ομαλή ιδιότητα σε ένα αλγεβρικό V που περιέχεται σε ένα Αⁿ είναι ο περιορισμός στο V από μία ομαλή ιδιότητα πάνω στο Αⁿ. Για ένα αλγεβρικό σύνολο που ορίζεται στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών, οι ομαλές ιδιότητες είναι ομαλές ακόμα και αναλυτικές.

Μπορεί να φαίνεται αφύσικα περιοριστικo το να επιβάλεις οτι μια ομαλή ιδιότητα παντα επεκτείνεται σε έναν περιβάλλοντα χώρο, αλλά είναι αρκετά παρόμοιο με την κατάσταση σε ένα κανονικό τοπολογικό χώρο, όπου εφαρμόζεται το θεώρημα επέκτασης Tietze που εγγυάται ότι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό υποσύνολο εκτείνεται πάντα στον περιβάλλοντα τοπολογικό χώρο.

Ακριβώς όπως με τις κανονικές λειτουργίες του αφινικού χώρου, οι ομαλες λειτουργίες του V σχηματίζουν ένα δακτύλιο, τον οποίο συμβολίζουμε με k[V]. Αυτός ο δακτύλιος ονομάζεται συντεταγμένος δαχτύλιος του V.

Αφού οι ομαλές λειτουργίες του V προέρχονται από τις ομαλές λειτουργίες σε ένα Aⁿ , υπάρχει μια σχέση μεταξύ των δακτυλίων συντεταγμένων. Συγκεκριμένα, εάν μια κανονική λειτουργία στο V είναι ο περιορισμός των δύο συναρτήσεων f και g στο k[Aⁿ] , τότε f − g είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση η οποία είναι μηδενική στο V και ως εκ τούτου ανήκει στην I(V). Ετσι το k[V] μπορεί να ταυτοποιηθεί με το k[Aⁿ]/I(V).

Μορφισμός των αφινικών πολλαπλοτήτων

Χρησιμοποιώντας τις ομαλές λειτουργίες από μία βελτιωμένη πολλαπλότητα στο A¹, μπορούμε να ορίσουμε ομαλές απεικονίσεις από τη μία αφινική πολλαπλότητα στην άλλη. Πρώτα θα ορίσουμε μία ομαλή απεικόνιση από μια πολλαπλότητα σε αφινικό χώρο: Έστω ότι το V είναι μια πολλαπλότητα που περιέχεται σε ένα Aⁿ . Επιλέγουμε m ομαλές ιδιότητες στο V, και τις ονομάζουμε f₁, ..., f_m. Ορίζουμε μία κανονική απεικόνιση από το V έως A^m, αφήνοντας το f = (f₁, ..., f_m). Με άλλα λόγια, κάθε f_i καθορίζει μία συντεταγμένη του φάσματος της f.

Εάν V »είναι μια πολλαπλότητα που περιέχεται σε Am, λέμε ότι η f είναι μια ομαλή απεικόνιση από το V στο V», αν το εύρος της f περιέχεται στο «V.

Ο ορισμός των ομαλών απεικονισεων ισχύει και για αλγεβρικές σειρές. Οι ομαλές απεικονίσεις επίσης ονομάζονται μορφισμοί, όπως κάνουν με τη συλλογή όλων των αφινικών αλγεβρικών συνόλων σε μια κατηγορία, όπου τα αντικείμενα είναι οι αφινικές αλγεβρικές σειρές και οι πολυμορφισμοί είναι οι ομαλές απεικονίσεις. Οι αφινικές πολλαπλότητες είναι μια υποκατηγορία της κατηγορίας των αλγεβρικών συνόλων.

Λαμβάνοντας υπόψη μια ομαλή απεικόνιση g από το V στο V 'και μια ομαλή συνάρτηση f k [V'], τότε η f ∘ g ∈ k [V]. Ο χάρτης f → f ∘ g είναι ομομορφισμός δαχτυλίδι από k [V '] για k [V]. Αντίθετα, κάθε ομομορφισμός δαχτυλίδι από k [V '] για k [V] ορίζει μια ομαλή απεικόνιση από το V στο V ». Αυτό ορίζει την ισοδυναμία των κατηγοριών αναμεσα στηςν κατηγορία των αλγεβρικών συνόλων και την αντίθετη κατηγορία των πεπερασμένα παραγομένων ελλαττώμενων αλγεβρών k-. Η ισοδυναμία αυτή είναι ένα από τα σημεία εκκίνησης της θεωρίας του συστήματος.

Ομαλή συνάρτηση και birational ισοδυναμία

Κύριο άρθρο: Ρητη απεικόνιση

Εν αντιθέσει με τις προηγούμενες, η παρούσα ενότητα αφορά μόνο τις πολλαπλοτητες και όχι αλγεβρικα σύνολα. Από την άλλη πλευρά, οι ορισμοί που εκτείνονται φυσικά σε προβολικές πολλαπλοτητες (επόμενη ενότητα), ως αφινικη πολλαπλοτητα και η προβολική ολοκλήρωσή της έχουν το ίδιο πεδίο συναρτήσεων.

Εάν V είναι μια αφινικη πολλαπλοτητα, ο δακτύλιος συντεταγμένων της αποτελεί αναπόσπαστο τομέα και έχει έτσι ένα πεδίο των κλασμάτων που συμβολίζεται με k (V) και ονομαζεται πεδίο των ρητων συναρτήσεων της V ή, σύντομα, το πεδίο συναρτησης του V. Στοιχεία της είναι οι περιορισμοί στο V των ρητων συναρτήσεων του αφινικου χώρου που περιέχει τον V. Ο τομέας μιας ρητής συνάρτησης f δεν είναι V, αλλά το συμπλήρωμα της υποπολλαπλοτητας (μια υπερεπιφανεια), όπου ο παρονομαστής της f μηδενίζεται.

Όπως και για τις ομαλες απεικονίσεις, μπορεί κανείς να καθορίσει μια ρητη απεικόνιση από μια πολλαπλότητα V σε μια πολλαπλότητα V ». Όπως και για τις οαμλες απεικονισεις, οι ρητες απεικονισεις από το V στο V »μπορεί να προσδιοριστούν για το πεδίο ομομορφισμών από k (V ') για k (V).

Δύο αφινικες πολλαπλότητες είναι birational ισοδύναμες αν υπάρχουν δύο ρητες συναρτήσεις μεταξύ τους οι οποίες είναι αντιστρόφως ανάλογες η μια προς την άλλη στις περιοχές όπου οι δύο ορίζονται. Ισοδύναμα, είναι birational ισοδύναμες αν τα πεδια συναρτησης τους είναι ισομορφα.

Μια αφινική πολλαπλοτητα είναι μια ομαλη πολλαπλοτητα και αν είναι birational ισοδυναμη με ένα αφινικό χώρο. Αυτό σημαίνει ότι η πολλαπλοτητα επιδέχεται μια ορθολογική παραμετροποίηση. Για παράδειγμα, ο κύκλος της εξίσωσης x ^ 2 + γ ^ 2 - 1 Ι = 0 είναι μια ρητή καμπύλη, καθώς έχει την παραμετροποίηση η οποία μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια λογική χάρτη από τη γραμμή στον κύκλο.

Το πρόβλημα της επίλυσης των ανωμαλιών είναι να γνωρίζουμε εάν κάθε αλγεβρικη πολλαπλότηα είναι birational ισοδύναμη με μια πολλαπλοτητα της οποίας προβολική ολοκλήρωση είναι αντιστρέψιμη (βλ. επίσης ομαλή ολοκλήρωση). Έχει διευθετηθεί θετικά με το χαρακτηριστικό 0 από τον Heisuke Hironaka το 1964 και είναι ακόμα άλυτο σε πεπερασμένο χαρακτηριστικό.

Προβολική πολλαπλότητα

Κύριο άρθρο: Αλγεβρική γεωμετρία των προβολικών χώρων

parabola (y = x², red) and cubic (y = x³, blue) in projective space

Πολλές ιδιότητες των αφινικων πολλαπλοτητων εξαρτώνται από τη συμπεριφορά τους "στο άπειρο".

Για παράδειγμα, σκεφτείτε την πολλαπλότητα V (y - x2). Αν τη σχηματίσουμε, έχουμε μια παραβολή. Οσο αυξάνεται το x, η κλίση της γραμμής από την αρχή μέχρι το σημείο (x, x2) γίνεται ολοένα και μεγαλύτερη. Οσο μειώνεται το x, η κλίση της ίδιας γραμμής γίνεται όλο και μικρότερη.

Συγκρίνετε αυτό με την ποικιλία V (y - x3). Αυτή είναι μια κυβική καμπύλη. Οσο το x αυξάνεται, η κλίση της γραμμής από την αρχή μέχρι το σημείο (x, x3) γίνεται όλο και μεγαλύτερη ακριβώς όπως και πριν. Αλλά σε αντίθεση με πριν, καθώς το x μειώνεται, η κλίση της ίδιας γραμμής γίνεται και πάλι όλο και μεγαλύτερη. Έτσι, η συμπεριφορά "στο άπειρο» των V (y - x3) είναι διαφορετική από τη συμπεριφορά "στο άπειρο» των V (y - x2).

Η εξέταση της προβολικης ολοκλήρωσης των δύο καμπυλών, η οποία είναι η προέκταση τους "στο άπειρο" στο προβολικό επίπεδο, επιτρέπει την ποσοτικοποίηση αυτής της διαφοράς: το σημείο στο άπειρο της παραβολής είναι ενα ομαλό σημείο, του οποίου η εφαπτομένη είναι η γραμμή στο άπειρο, ενώ το σημείο στο άπειρο της κυβικής καμπύλης είναι ένα σημείο καμπής. Επίσης, οι δύο καμπύλες είναι ρητές, καθώς είναι παραμετροποιήσιμες από το x, και απο το θεώρημα Riemann-Roch συνεπάγεται ότι η κυβική καμπύλη πρέπει να έχει μια ιδιομορφία, η οποία πρέπει να είναι στο άπειρο, όπως όλα τα σημεία της στον αφινικό χώρο είναι ομαλά.

Έτσι, πολλές από τις ιδιότητες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων, συμπεριλαμβανομένων διλογικών ισοδυναμιών και όλες τις τοπολογικές ιδιότητες εξαρτώνται από τη συμπεριφορά «στο άπειρο» και, ως εκ τούτου συνεπάγεται για τη μελέτη των πολλαπλοτήτων στον προβολικό χώρο. Επιπλέον, η εισαγωγή των προβολικές τεχνικων έκανε πολλα θεωρήματα στην αλγεβρική γεωμετρία απλούστερα και πιο εντονα: Για παράδειγμα, το θεώρημα Bézout σχετικά με τον αριθμό των σημείων τομής μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων μπορεί να αναφέρεται σε εντονότερη μορφή της μόνο σε προβολικό χώρο. Για τους λόγους αυτούς, ο προβολικός χώρος διαδραματίζει θεμελιώδη ρόλο στην αλγεβρική γεωμετρία.

Σήμερα, ο προβολικός χώρος Ρη διάστασης n συνήθως ορίζεται ως το σύνολο των γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο, που θεωρείται ως η προέλευση, στον αφινικό χώρο διάστασης ν +1, ή ισοδύναμα με το σύνολο των γραμμών του διανύσματο σε ένα διανυσματικό χώρο διάστασης Ν +1. Όταν ένα σύστημα συντεταγμένων έχει επιλεγεί στο χώρο της διάστασης ν +1, όλα τα σημεία μιας γραμμής έχουν το ίδιο σύνολο συντεταγμένων, μέχρι τον πολλαπλασιασμό από ένα στοιχείο του k. Αυτό καθορίζει τις ομοιογενείς συντεταγμένες ενός σημείου του Ρη ως μια ακολουθία των στοιχείων n 1 του k πεδίου βάσης, που ορίζεται μέχρι τον πολλαπλασιασμό με μη μηδενικό στοιχείο του k (η ίδια για όλη την αλληλουχία).

Δοθέντος ενος πολυωνυμου σε μεταβλητές n +1, ,μηδενίζεται σε καθε σημείο της γραμμής που διέρχεται απο την αρχη των αξονων, αν και μόνο αν είναι ομοιογενές. Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορει να ισχυριστεί ότι το πολυώνυμο μηδενίζεται στο αντίστοιχο σημείο του Ρη. Αυτό σας επιτρέπει να ορίσετε ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο στο Pn ως το σύνολο V (f1, ..., fk) όπου μηδενίζεται ένα πεπερασμένο σύνολο των ομογενών πολυωνύμων {f1, ..., fk}. Όπως και για τα αφινικά αλγεβρικα συνολα, υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των προβολικών αλγεβρικών συνόλων και των μειωμένων ομογενων ιδεώδων που τα ορίζουν. Οι προβολικές πολλαπλότητες είναι προβολικα αλγεβρικα σύνολα των οποίων το ιδεώδες ορισμού τους είναι πρωταρχικό. Με άλλα λόγια, μια προβολική πολλαπλότητα είναι ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο, του οποίου ο ομογενής δακτύλιος συντεταγμένων αποτελεί ολοκληρώσιμο πεδίο, ο προβολικος δακτύλιος συντεταγμένων ορίζεται ως το πηλίκο του διαβαθμισμένης δακτυλίου ή τα πολυώνυμα των μεταβλητών n +1 από το ομογενές (μειωμένο) ιδεωδες που καθορίζει την πολλαπλότητα. Κάθε προβολικό αλγεβρικό σύνολο μπορεί να είναι αναλυθεί μοναδικά σε μια πεπερασμένη ένωση προβολικών πολλαπλοτήτων.

Οι μόνες ρητες συναρτήσεις που μπορεί να οριστούν σωστά σε μια προβολική πολλαπλότητα είναι οι σταθερές συναρτήσεις. Έτσι, η έννοια αυτή δεν χρησιμοποιείται σε προβολική καταστάσεις. Από την άλλη πλευρά το πεδίο των ρητών συναρτήσεων ή πεδίο συνάρτησης είναι μια χρήσιμη έννοια, η οποία, όπως στην αφινική περίπτωση ό, ορίζεται ως το σύνολο των λόγων δύο ομοιογενών στοιχείων του ίδιου βαθμού στον ομογενή δακτύλιο συντεταγμένων.

Πραγματική αλγεβρική γεωμετρία

Κύριο άρθρο: Πραγματική αλγεβρική γεωμετρία

Η πραγματική αλγεβρική γεωμετρία είναι η μελέτη των πραγματικών σημείων της Αλγεβρικής γεωμετρία.

Το γεγονός ότι το πεδίο των πραγματικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο πεδίο δεν μπορεί να συσκοτίζεται σε μια τέτοια μελέτη. Για παράδειγμα, η καμπύλη της εξίσωσης είναι ένας κύκλος, εάν, αλλά δεν έχει κανένα πραγματικό σημείο, εάν. Συνάγεται ότι η πραγματική αλγεβρική γεωμετρία δεν είναι μόνο η μελέτη των πραγματικών αλγεβρικών πολλαπλοτήτων, αλλά έχει γενικευτεί για τη μελέτη των ημι-αλγεβρικών συνόλων, οι οποίες είναι οι λύσεις των συστημάτων των πολυωνυμικών εξισώσεων και των πολυώνυμικων ανισοτητων. Για παράδειγμα, ένας κλάδος της υπερβολής της εξίσωσης δεν είναι μια αλγεβρική πολλαπλοτητα, αλλά είναι ένα ημι-αλγεβρικό σύνολο που ορίζεται από και ή και.

Ένα από τα σημαντικά προβλήματα της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας είναι το δεκατο έκτο άλυτο πρόβλημα του Hilbert: Αποφασίστε ποιες αντίστοιχες θέσεις είναι πιθανες για τις οωειδείς απεικονίσεις μιας μη ανώμαλης επιπεδης καμπύλης 8ης ταξης..

Υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία

Κάποιος μπορεί να ορίσει ως ημερομηνία προέλευσης των υπολογιστικών αλγεβρική γεωμετρία συνάντηση EUROSAM'79 (Διεθνές Συμπόσιο για την Συμβολική και αλγεβρικούς) που πραγματοποιήθηκε στη Μασσαλία, στη Γαλλία τον Ιούνιο του 1979. Κατά τη συνεδρίαση αυτή,ο Dennis S. Arnon έδειξε ότι κυλινδρική αλγεβρική αναλυση του George E. Collins του (CAD) επιτρέπει να υπολογίσουμε την τοπολογία των ημι-αλγεβρικών συνόλων, Ο Bruno Buchberger παρουσίασε τις βάσεις Gröbner και τον αλγόριθμο για να τις υπολογίζουν, Ο Daniel Lazard παρουσίασε ένα νέο αλγόριθμο για την επίλυση των συστημάτων των ομογενών εξισώσεων πολυωνύμων με μια υπολογιστική πολυπλοκότητα η οποία είναι ουσιαστικά πολυώνυμο στον αναμενόμενο αριθμό των λύσεων και έτσι απλά αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των αγνώστων. Ο αλγόριθμος αυτός είναι στενά συνδεδεμένος με την συνισταμένη πολυμεταβλητή συνισταμένη του Macaulay .

Από τότε, τα περισσότερα αποτελέσματα σε αυτή την περιοχή σχετίζεται με ένα ή περισσότερα από αυτά τα στοιχεία είτε με τη χρήση ή τη βελτίωση ενός από αυτούς τους αλγορίθμους, είτε με την εύρεση αλγορίθμων των οποίων η πολυπλοκότητα είναι απλά εκθετική στον αριθμό των μεταβλητών.

Gröbner βάση

Κύριο άρθρο: Gröbner βάση

Μια βάση Gröbner είναι ένα σύστημα γεννητορων ενός πολυωνυμικου ιδεώδους του οποίου ο υπολογισμος επιτρέπει να συμπεράνουμε πολλές ιδιότητες της αφινικής αλγεβρικής πολλαπλότητας που ορίζεται από το ιδεώδες.

Λαμβάνοντας υπόψη ένα ιδεωδες Ι για τον καθορισμό ενος αλγεβρικού συνολου V: το V είναι κενό (πάνω από μια αλγεβρικά κλειστή επέκταση του πεδίου βάσης), αν και μόνο αν η βάση Gröbner για κάθε διατεταγμένο μονώνυμο μειώνεται σε {1}. Με μέσο τη σειρά Hilbert μπορεί κανείς να υπολογίσει τη διάσταση και το βαθμό της V από οποιαδήποτε βάση Gröbner Ι για διατεταγμένο μονώνυμο εκλεπτύνοντας τον ολικο βαθμο. Αν η διάσταση του V είναι 0, μπορεί κανείς να υπολογίσει τα σημεία (περιορισμένα σε αριθμό) του V από οποιαδήποτε βάση Gröbner Ι (βλ. συστηματα πολυωνυμικών εξισώσεων. Ένας υπολογισμός με βάση Gröbner επιτρέπει να αφαιρέσετε από το V όλα τα ανάγωγα στοιχεία τα οποία περιέχονται σε μιας δοθείσας υπερεπιφάνειας. Ένας υπολογισμός με βάση Gröbner επιτρέπει να υπολογίσουμε την κλειστότητα της εικόνας των V Zariski από την προβολή στις συντεταγμένες k πρώτα, και το υποσύνολο της εικόνας όπου η προβολή δεν είναι σωστή. Γενικότερα οι υπολογιμοί με βάση Gröbner επιτρέπει να υπολογίσουμε την κλείστότητα Zariski της εικόνας και τα κρίσιμα σημεία μιας ρητης συνάρτησης της V σε μια άλλη αφινική πολλαπλότητα.

Οι υπολογισμοί με βαση Gröbner δεν επιτρέπουν να υπολογίσουμε άμεσα την πρωταρχική αναλυση ενω ούτε τα πρωταρχικά ιδεώδη για τον καθορισμό των ανάγωγων στοιχείων του V, αλλά οι περισσότεροι αλγόριθμοι για το σκοπό αυτό περιλαμβάνουν τη Gröbner βάση υπολογισμού. Οι αλγόριθμοι που δεν βασίζονται σε Gröbner βάσεις χρησιμοποιούν ομαλές αλυσίδες, αλλά μπορεί να χρειαστεί βάσεις Gröbner σε κάποιες εξαιρετικές περιπτώσεις. Η Gröbner βάση θεωρείται ότι είναι δύσκολο να υπολογιστεί. Στην πραγματικότητα μπορεί να περιέχει, στη χειρότερη περίπτωση, πολυώνυμα των οποίων ο βαθμός είναι διπλά εκθετικός στον αριθμό των μεταβλητών και μια σειρά από πολυώνυμα τα οποία να είναι επίσης διπλά εκθετικά. Ωστόσο, αυτό είναι μόνο μια πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης, και τα φράγματα πολυπλοκότητας του αλγορίθμου του Lazard του 1979 μπορεί συχνά να ισχύουν. Faugere F4 και F5 αλγόριθμοι υλοποιούν αυτη την πολυπλοκότητα, όπως F5 αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί ως βελτίωση του αλγορίθμου του Lazard 1979. Επομένως, οι καλύτερες υλοποιήσεις επιτρέπουν να υπολογίζουν σχεδόν συστηματικά με αλγεβρικές σειρές βαθμό πάνω από 100. Αυτό σημαίνει ότι, επί του παρόντος, η δυσκολία υπολογισμου μιας βάσης Gröbner είναι στενά συνδεδεμένη με την εγγενή δυσκολία του προβλήματος.

Κυλινδρική Αλγεβρική σύνθεση (CAD)

Η CAD είναι ένας αλγόριθμος που εισήχθη το 1973 από τον Γ. Collins να εφαρμόσει με αποδεκτή πολυπλοκότητα το θεώρημα Tarski για την εξάλειψη ποσοδείκτη στους πραγματικούς αριθμούς.

Το θεώρημα αυτό αφορά τους τύπους που έχουν Λογική πρώτου βαθμού των οποίων οι ατομικοί τύποι είναι πολυώνυμικές ισότητες ή ανισότητες μεταξύ των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. Αυτοί οι τύποι είναι και οι τύποι που μπορούν να κατασκευαστούν από τους ατομικούς τύπους από τους λογικούς τελεστές και (∧), ή (∨), όχχι (¬), για όλα (∀) και υπάρχει (∃). Το Θεώρημα του Tarski ισχυρίζεται ότι, από τέτοιους τύπος, μπορεί κανείς να υπολογίσει τονισοδύναμο τύπο χωρίς ποσοδείκτη (∀, ∃).

Η πολυπλοκότητα του CAD είναι διπλά εκθετική στον αριθμό των μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι CAD επιτρέπει, θεωρητικά, να λύσει όλα τα προβλήματα της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας που μπορεί να εκφραστεί με τέτοιο τύπο, που είναι σχεδόν κάθε πρόβλημα που αφορά να δοθούν ρητά πολλαπλότητα και ημι-αλγεβρικά συνόλα.

Ενώ η Gröbner βάση υπολογισμού έχει διπλή εκθετική πολυπλοκότητα μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις, η CAD έχει σχεδόν πάντα υψηλή πολυπλοκότητα. Αυτό σημαίνει ότι, εκτός αν τα περισσότεροι πολυώνυμα που εμφανίζονται στην είσοδο είναι γραμμικά, δεν μπορεί να λύσει τα προβλήματα με περισσότερες από τέσσερις μεταβλητές.

Από το 1973, το μεγαλύτερο μέρος της έρευνας για το θέμα αυτό είναι αφιερωμένο είτε στην βελτίωση του CAD ή να βρεί εναλλακτικές αλγόριθμους για ειδικές περιπτώσεις γενικού συμφέροντος.

Ως παράδειγμα της κατάστασης της τέχνης, υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι που βρίσκουν τουλάχιστον ένα σημείο σε κάθε συνδεδεμένο συστατικό ενός αλγεβικού ημι-συνόλου αλγεβρικών και, συνεπώς, για τη δοκιμή εάν ένα ημι-αλγεβρικό σύνολο είναι άδειο. Από την άλλη πλευρά CAD είναι ακόμα, στην πράξη, ο καλύτερος αλγόριθμος που μετράει τον αριθμό των συνδεδεμένων συστατικών.

Ασυμπτωτική πολυπλοκότητα εναντίον πρακτικής αποτελεσματικότητας

Οι βασικοί γενικοί αλγόριθμοι της υπολογιστικής γεωμετρίας έχουν ένα διπλό εκθετική πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης. Πιο συγκεκριμένα, εάν το D είναι το μέγιστο βαθμό των πολυωνύμων εισόδου και n ο αριθμός των μεταβλητών, η πολυπλοκότητά τους είναι το πολύ για κάποια σταθερά c, και, για ορισμένες εισροές, η πολυπλοκότητα είναι τουλάχιστον για άλλη μια σταθερά c ».

Kατά τα τελευταία 20 χρόνια του 20ου αιώνα, οι διάφοροι αλγόριθμοι έχουν εισαχθεί για την επίλυση συγκεκριμένων υποπροβλήματα με μια καλύτερη πολυπλοκότητα. Οι περισσότεροι από αυτούς τους αλγορίθμους έχουν μια πολυπλοκότητα.

Μεταξύ αυτών των αλγορίθμων που λύσει ένα επιμέρους πρόβλημα τα προβλήματα επιλύονται με Gröbner βάσεις, μπορεί κανείς να αναφέρουμε τη δοκιμή εάν ένα affine ποικιλία είναι κενή και η επίλυση μη ομοιογενή συστήματα πολυωνύμου που έχουν πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Τέτοιοι αλγόριθμοι σπάνια εφαρμόζονται, διότι, στις περισσότερες καταχωρήσεις F4 και F5 Faugere αλγόριθμοι έχουν μια καλύτερη πρακτική αποτελεσματικότητα και πιθανώς μια παρόμοια ή καλύτερη πολυπλοκότητα (πιθανώς επειδή η αξιολόγηση της πολυπλοκότητας των Gröbner αλγορίθμων βάση μια συγκεκριμένη κατηγορία καταχωρήσεων είναι ένα δύσκολο έργο που έχει να γίνει μόνο σε μερικές ειδικές περιπτώσεις).

Τα κύρια αλγόριθμοι της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας που λύσει ένα πρόβλημα που επιλύεται από CAD που σχετίζονται με την τοπολογία των ημι-αλγεβρικών σύνολα. Κάποιος μπορεί να αναφέρει μετρώντας τον αριθμό των συνδεδεμένων συσκευών, δοκιμή εάν δύο σημεία είναι τα ίδια εξαρτήματα ή τον υπολογισμό ενός διαστρωμάτωση Whitney από ένα πραγματικό σύνολο αλγεβρικών. Έχουν μια πολυπλοκότητα, αλλά και η συνεχής συμμετοχή από O συμβολισμός είναι τόσο υψηλή ότι η χρήση τους για την επίλυση οποιουδήποτε τετριμμένη πρόβλημα αποτελεσματικά λυθεί με CAD, είναι αδύνατον ακόμα και αν μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει όλα τα υφιστάμενα υπολογιστική ισχύ στον κόσμο. Επομένως, αυτοί οι αλγόριθμοι δεν έχουν ποτέ εφαρμοστεί και αυτό είναι ένας ενεργός τομέας της έρευνας για την αναζήτηση αλγορίθμους με έχουν μαζί μια καλή ασυμπτωτική πολυπλοκότητα και μια καλή πρακτική αποτελεσματικότητα.

Περίληψη της σύγχρονης άποψης

Οι σύγχρονες προσεγγίσεις για την αλγεβρική γεωμετρία επαναπροσδιορίσει και αποτελεσματικά να επεκτείνει το φάσμα των βασικών αντικειμένων σε διάφορα επίπεδα γενικότητας στα συστήματα, επίσημα συστήματα, ind-συστημάτων, αλγεβρικών χώρους, αλγεβρικό στοίβες και ούτω καθεξής. Η ανάγκη αυτή προκύπτει ήδη από τις χρήσιμες ιδέες στην θεωρία των ποικιλιών, π.χ. οι τυπικές λειτουργίες του Zariski μπορούν να φιλοξενηθούν με την εισαγωγή nilpotent στοιχεία δαχτυλίδια δομή? εξέταση χώρους των βρόχων και των τόξων, κατασκευή λόγων με τις δράσεις της ομάδας και την ανάπτυξη τυπικούς λόγους για τη φυσική θεωρία τομή και η παραμόρφωση θεωρητικά να οδηγήσει ορισμένες από τις περαιτέρω επεκτάσεις.

Πιο εντυπωσιακά, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, αλγεβρικές ποικιλίες εντάχθηκε στη έννοια Alexander Grothendieck του καθεστώτος. Τοπικά αντικείμενα τους είναι συσχετισμένα συστήματα ή προνομιακή φάσματα τα οποία πλαισιώνονται τοπικά χώρους που αποτελούν μια κατηγορία που είναι antiequivalent στην κατηγορία των commutative unital δαχτυλίδια, επεκτείνοντας τη δυαδικότητα ανάμεσα στην κατηγορία των affine αλγεβρικό ποικιλίες πάνω από ένα k τομέα, καθώς και η κατηγορία των πεπερασμένα παραγομένων μειώνεται k-άλγεβρες. Το κόλλημα είναι μαζί Zariski τοπολογία? Μπορεί κανείς να κόλλα στην κατηγορία των τοπικά δακτυλιώθηκαν χώρων, αλλά και, με την ενσωμάτωση Yoneda, κατά την πιο αφηρημένη κατηγορία presheaves των συνόλων πάνω από την κατηγορία των affine συστημάτων. Η τοπολογία Zariski την έννοια θεωρητική σετ στη συνέχεια αντικαθίσταται από μια τοπολογία Zariski κατά την έννοια του Grothendieck τοπολογία. Grothendieck εισήγαγε Grothendieck τοπολογίες που έχουν στο μυαλό πιο εξωτικά αλλά γεωμετρικά λεπτότερη και πιο ευαίσθητη παραδείγματα από το ακατέργαστο Zariski τοπολογία, δηλαδή η Etale τοπολογία, και τα δύο επίπεδα Grothendieck τοπολογίες: ffpf και fpqc? Σήμερα μερικά άλλα παραδείγματα έγιναν εμφανή συμπεριλαμβανομένων Nisnevich τοπολογία. Τροχαλίες μπορεί να είναι επιπλέον γενικευτούν σε στοίβες κατά την έννοια του Grothendieck, συνήθως με κάποια επιπλέον όρους παραστάσεως που οδηγεί στην Artin στοίβες, και ακόμα λεπτότερες, Deligne-Mumford στοίβες, τόσο συχνά αποκαλείται αλγεβρικό στοίβες.

Μερικές φορές άλλα αλγεβρικό sites αντικαταστήσει την κατηγορία των affine συστημάτων. Για παράδειγμα, Nikolai Durov εισήγαγε commutative αλγεβρικό Μονάδες ως γενίκευση των τοπικών αντικειμένων σε μια γενικευμένη αλγεβρική γεωμετρία. Εκδοχές ενός τροπικού γεωμετρίας, της απόλυτης γεωμετρίας πάνω από ένα πεδίο ενός στοιχείου και ένα αλγεβρικό ανάλογο της γεωμετρίας Arakelov που πραγματοποιήθηκαν σε αυτή τη ρύθμιση.

Μια άλλη επίσημη γενίκευση είναι δυνατόν να Οικουμενική αλγεβρική γεωμετρία στην οποία κάθε ποικιλία της άλγεβρας έχει τη δική του αλγεβρική γεωμετρία. Ο όρος ποικιλία της άλγεβρας δεν πρέπει να συγχέεται με το αλγεβρικό ποικιλία.

Η γλώσσα των στοίβες συστημάτων και γενικεύσεις έχει αποδειχθεί ότι είναι ο κατάλληλος τρόπος για την αντιμετώπιση των γεωμετρικών εννοιών και έγινε ακρογωνιαίους λίθους της σύγχρονης αλγεβρική γεωμετρία.

Αλγεβρική στοίβες μπορεί να είναι περισσότερο γενικευμένες και για πολλά πρακτικά ζητήματα όπως η θεωρία της παραμόρφωσης και της θεωρίας τομής, αυτό είναι συχνά η πιο φυσική προσέγγιση. Κάποιος μπορεί να επεκτείνει το χώρο Grothendieck των affine συστημάτων σε ένα υψηλότερο κατηγορηματική θέση των παράγωγων affine συστημάτων, με την αντικατάσταση των commutative δαχτυλίδια με μια κατηγορία άπειρο του διαφορικού διαβαθμισμένης commutative algebras, ή simplicial commutative δαχτυλίδια ή μια παρόμοια κατηγορία με την κατάλληλη παραλλαγή ενός Grothendieck τοπολογία. Κάποιος μπορεί επίσης να αντικαταστήσει presheaves συνόλων από presheaves των simplicial σετ (ή του απείρου groupoids). Στη συνέχεια, σε παρουσία ενός κατάλληλου homotopic μηχανήματα μπορεί κανείς να αναπτύξει μια έννοια που προέρχεται στοίβας καθώς μια τέτοια presheaf την κατηγορία άπειρο παράγωγων affine συστημάτων, η οποία να ικανοποιούν ορισμένες άπειρη κατηγορηματική έκδοση ενός αξιώματος δεμάτι (και να είναι αλγεβρικό, επαγωγικά μια αλληλουχία των συνθηκών παραστάσεως). Quillen κατηγορίες μοντέλο, Segal κατηγορίες και quasicategories είναι μερικά από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα εργαλεία για να επισημοποιήσει αυτή αποδίδοντας την παράγωγη αλγεβρική γεωμετρία, το οποίο εισήχθη από τη σχολή του Carlos Simpson, συμπεριλαμβανομένων Andre Hirschowitz, Bertrand toen, Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié και άλλοι? Και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Jacob Lurie, Bertrand toen και Gabrielle Vezzosi. Ένας άλλος (noncommutative) έκδοση του προέρχεται αλγεβρική γεωμετρία, με A-άπειρο κατηγορίες έχει αναπτυχθεί από τις αρχές του 1990-s με Maxim Kontsevich και τους οπαδούς.

Προϊστορία: πριν από τον 19ο αιώνα

Μερικές από τις ρίζες των αλγεβρικό ημερομηνία γεωμετρίας πίσω στο έργο των ελληνιστικών Έλληνες από τον 5ο π.Χ. αιώνα. Η Δηλιακή πρόβλημα, για παράδειγμα, ήταν να κατασκευάσει ένα χ μήκος, έτσι ώστε ο κύβος του x πλευρά περιείχε τον ίδιο όγκο με το ορθογώνιο κουτί Α2Β για δεδομένες πλευρές a και b. Menechmus (γύρω στο 350 π.Χ.) θεώρησε ότι το πρόβλημα γεωμετρικά από τέμνει το ζεύγος αεροπλάνο conics ay = x2 και xy = ab. [1] Η πιό πρόσφατη εργασία, τον 3ο αιώνα π.Χ., του Αρχιμήδη και του Απολλώνιου μελετηθεί πιο συστηματικά προβλήματα σχετικά με κωνικές τομές, [2], και συμμετέχει επίσης τη χρήση των συντεταγμένων. [1] Οι αραβικές μαθηματικοί ήταν σε θέση να λύσει από καθαρά αλγεβρικό σημαίνει ορισμένες κυβικές εξισώσεις, και στη συνέχεια να ερμηνεύσει τα αποτελέσματα γεωμετρικά. Αυτό έγινε, για παράδειγμα, από τον Ibn al-Haytham τον 10ο μ.Χ. αιώνα. [3] Στη συνέχεια, περσική μαθηματικός Ομάρ Καγιάμ (γεν. 1048 μ.Χ.) ανακάλυψαν τη γενική μέθοδο επίλυσης των κυβικών εξισώσεων τέμνει μια παραβολή με έναν κύκλο. [4 ] Κάθε μία από αυτές τις αρχές τις εξελίξεις στην αλγεβρική γεωμετρία ασχολήθηκε με θέματα για την εξεύρεση και περιγράφει τις διασταυρώσεις των αλγεβρικών καμπυλών.

Τέτοιες τεχνικές εφαρμογής γεωμετρικές κατασκευές σε αλγεβρικά προβλήματα εγκρίθηκαν επίσης από μια σειρά Αναγέννησης μαθηματικοί, όπως Gerolamo Cardano και Niccolò Fontana "Tartaglia" στις σπουδές τους για την εξίσωση. Η γεωμετρική προσέγγιση για τα προβλήματα κατασκευής, παρά το αλγεβρικό ένα, ευνοήθηκε από τα περισσότερα του 16ου και 17ου αιώνα μαθηματικοί, ιδίως Blaise Pascal ο οποίος τάχθηκε κατά της χρήσης των αλγεβρικών και των αναλυτικών μεθόδων στη γεωμετρία. [5] Η γαλλική μαθηματικοί Franciscus Vieta και αργότερα René Descartes και Pierre de Fermat ξεσηκώσει τον συμβατικό τρόπο σκέψης σχετικά με τα προβλήματα των κατασκευών μέσω της εισαγωγής της γεωμετρίας συντεταγμένων. Τους ενδιέφερε κυρίως στις ιδιότητες των αλγεβρικών καμπυλών, όπως αυτές ορίζονται από Diophantine εξισώσεις (στην περίπτωση του Fermat), και το αλγεβρικό αναδιατύπωση των κλασικών ελληνικών έργων σε conics και cubics (στην περίπτωση του Descartes). Κατά την ίδια περίοδο, Blaise Pascal και Gérard Desargues πλησίασε γεωμετρία από μια διαφορετική οπτική γωνία, την ανάπτυξη των συνθετικών έννοιες της προβολικής γεωμετρίας. Pascal και Desargues μελέτησε επίσης καμπύλες, αλλά από την καθαρά γεωμετρική άποψη: το ανάλογο της ελληνικής ηγεμόνα και την κατασκευή της πυξίδας. Τελικά, η αναλυτική γεωμετρία του Descartes και Fermat κέρδισε έξω, για να παρέχονται οι μαθηματικοί του 18ου αιώνα, με συγκεκριμένα ποσοτικά εργαλεία που απαιτούνται για τη μελέτη σωματικά προβλήματα χρησιμοποιώντας το νέο λογισμό του Νεύτωνα και Leibniz. Ωστόσο, από το τέλος του 18ου αιώνα, οι περισσότεροι από το αλγεβρικό χαρακτήρα της γεωμετρίας συντεταγμένων εντάχθηκε από το λογισμό των απειροελάχιστων του Lagrange και Euler.

19ου και αρχές του 20ου αιώνα

Πήρε όλες τις σύγχρονες εξελίξεις του 19ου αιώνα, έτσι ώστε η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία και τα Abelian ολοκληρώματα, προκειμένου να φέρει τα παλιά αλγεβρικές ιδέες πίσω στο γεωμετρικό πεδίο. Η πρώτη από αυτές τις νέες εξελίξεις εφαρμόστηκε από τους Edmond Laguerre και Arthur Cayley, οι οποίοι επιχείρησαν να εξακριβώσουν τα γενικευμένες ιδιοτήτες των μετρικών του προβολικού χώρου. Ο Cayley εισήγαγε την ιδέα των ομοιογενών μορφών πολυωνύμου, και πιο συγκεκριμένα τις τετραγωνικές μορφές, σε προβολικό χώρο. Στη συνέχεια, ο Felix Klein μελέτησε προβολική γεωμετρία (μαζί με άλλα είδη γεωμετρίας) από την άποψη ότι η γεωμετρία σε ένα χώρο κωδικοποιείται σε μια ορισμένη τάξη των μετασχηματισμών στο χώρο. Μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, οι προβολικοί γεωμέτρες μελετούσαν γενικότερα είδη μετασχηματισμών σε ποσά σε προβολικό χώρο. Αντί οι προβολικοί γραμμικοί μετασχηματισμοί που συνήθως θεωρείται ότι παρέχει τη θεμελιώδη Kleinian γεωμετρία σε προβολικό χώρο, ασχολήθηκαν και με το μεγαλύτερο βαθμό birational μετασχηματισμούς. Αυτή η ασθενέστερη έννοια της αντιστοιχίας αργότερα θα οδηγήσει τα μέλη του 20ου αιώνα ιταλικό σχολείο της Αλγεβρική γεωμετρία για να ταξινομήσει αλγεβρικό επιφάνειες έως birational ισομορφισμός.

Η δεύτερη στις αρχές του 19ου αιώνα και την ανάπτυξη, που της Abelian ολοκληρώματα, θα οδηγούσε Bernhard Riemann Μπέρναρντ Ρίμαν για την ανάπτυξη του Riemann επιφάνειες.

Κατά την ίδια περίοδο ξεκίνησε η algebraization της Αλγεβρική γεωμετρία μέσω της αντιμεταθετικής άλγεβρας Αντιμεταθετική άλγεβρα. Τα εμφανή αποτελέσματα σε αυτή την κατεύθυνση είναι το βασικο θεώρημα David Hilbert Ντάβιντ Χίλμπερτ και Nullstellensatz, τα οποία αποτελούν τη βάση του συνδέσμου μεταξύ της αλγεβρικής γεωμετρίας και αντιμεταθετικής άλγεβρας, και πολυπαραγοντική προκύπτον Francis Sowerby Macaulay, η οποία είναι η βάση της θεωρίας της αποβολής. Πιθανώς λόγω του μεγέθους του υπολογισμού που υπονοείται από πολυπαραγοντική προκύπτει, θεωρία και την εξάλειψη έχει ξεχαστεί κατά τα μέσα του 20ου αιώνα, πριν να ανανεωθεί από τη θεωρία μοναδικότητα και υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία. [6]

20ος αιώνας

Οι BL van der Waerden, Oscar Zariski και André Weil ανέπτύξαν ένα θεμέλιο για την αλγεβρική γεωμετρία βασιζόμενοι σε σύγχρονη Αντιμεταθετική άλγεβρα, συμπεριλαμβανομένης και της θεωρίας αποτίμησης και tης θεωρίας των ιδεωδών. Ένας από τους στόχους ήταν να δίνει ένα ισχυρό πλαίσιο για την απόδειξη των αποτελεσμάτων της ιταλικής σχολής της Αλγεβρικής γεωμετρίας. Ειδικότερα, αυτό το σχολείο χρησιμοποιεί συστηματικά την έννοια του γενικου σημείο χωρίς κανένα ακριβή ορισμό,ο οποίος δόθηκε για πρώτη φορά από τους συγγραφείς αυτούς κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930.

Στη δεκαετία του 1950 και του 1960, οι Jean-Pierre Serre και ο Αλέξανδρος Grothendieck αναδιατύπωσαν τις βάσεις κάνοντας χρήση της θεωρίας sleaf. Αργότερα, από το 1960 περίπου, και σε μεγάλο βαθμό με αιχμή του δόρατος Grothendieck, η ιδέα των συστημάτων εκπονήθηκε, σε συνδυασμό με μια πολύ εκλεπτυσμένη συσκευή homological τεχνικές. Μετά από μια δεκαετία ταχείας ανάπτυξης στον τομέα σταθεροποιήθηκε στη δεκαετία του 1970, καθώς και νέες εφαρμογές έγιναν, τόσο σε αριθμό θεωρία και σε πιο κλασικά γεωμετρικά ερωτήσεις σχετικά με αλγεβρικό ποικιλίες, μοναδικότητες και παράμετροι. Μια σημαντική κατηγορία των ποικιλιών, δεν είναι εύκολα κατανοητή άμεσα από τον καθορισμό εξισώσεις τους, είναι οι abelian ποικιλίες, οι οποίες είναι οι προβολικές ποικιλίες των οποίων τα σημεία αποτελούν αβελιανή ομάδα. Τα τυπικά παραδείγματα είναι οι ελλειπτικές καμπύλες, οι οποίες έχουν μια πλούσια θεωρία. Ήταν καθοριστικό ρόλο στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά και χρησιμοποιούνται επίσης σε ελλειπτική κρυπτογραφία.

Παράλληλα με την αφηρημένη τάση της Αλγεβρική γεωμετρία, η οποία ασχολείται με γενικές δηλώσεις σχετικά με ποικιλίες, τις μεθόδους για την αποτελεσματική υπολογισμός με συγκεκριμένα-δεδομένου ποικιλίες έχουν επίσης αναπτυχθεί, τα οποία οδηγούν στο νέο χώρο της υπολογιστικής αλγεβρική γεωμετρία. Ένα από τα ιδρυτικά μεθόδους αυτής της περιοχής είναι η θεωρία της Gröbner βάσεων, το οποίο εισήχθη από τον Bruno Buchberger το 1965. Μια άλλη μέθοδος ίδρυση, πιο ειδικά αφιερωμένο στην πραγματική αλγεβρική γεωμετρία, είναι η κυλινδρική αλγεβρική αποσύνθεση, το οποίο εισήχθη από τον George E. Collins το 1973. -->

---

Η μόνη λύση που βλέπω είναι η συγχώνευση του λήμματος που έχεις φτιάξει με το ήδη υπάρχον λήμμα. Μπορείς λοιπόν να κάνεις το εξής: Πάρε ολόκληρο το πιο πάνω κείμενο με copy, πήγαινε στο υπάρχον λήμμα Αλγεβρική γεωμετρία, πάτησε "Επεξεργασία" και μετά κάνε paste το δικό σου κείμενο. Στη συνέχεια, επιμελήσου αυτό που έχει προκύψει, διαγράφοντας τυχόν επικαλυπτόμενα σημεία. Δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι άλλο... Θα μπορούσα να το κάνω εγώ, αλλά έτσι δεν θα φαίνεται η δική σου συνεισφορά στο λήμμα, οπότε κάνε το εσύ. Αν χρειαστείς οποιαδήποτε βοήθεια ή δεν έχεις καταλάβει καλά κάποιο σημείο από τα πιο πάνω, άφησέ μου σχετικό μήνυμα. --Ttzavaras^{συζήτηση} 17:35, 29 Μαΐου 2013 (UTC)

Ενδιάμεση υπενθύμιση

Καλησπέρα, αυτή είναι μια ενδιάμεση υπενθύμιση για μερικά ζητήματα:

• Κάποιοι από εσάς δεν έχουν επιλέξει ακόμη κάποιο λήμμα. Απλά πηγαίνετε στον κατάλογο λημμάτων και βάλτε μια υπογραφή δίπλα από το λήμμα με το οποίο θέλετε να ασχοληθείτε.
• Στους περισσότερους έχει ήδη ανατεθεί ένας προσωπικός βοηθός/σύμβουλος/καθοδηγητής (Online Ambassador). Ακόμη και αν δεν σας έχει συστηθεί ακόμη, μπορείτε να τον απασχολήσετε για οτιδήποτε σας προβληματίζει (ή αρχικά, πείτε του ένα «γειά!» για να σας προσέξει). Πηγαίνετε στον διαχωρισμό ομάδων για να δείτε ποιος είναι. Αν είστε ανάμεσα σε αυτούς οι οποίοι δεν έχουν ακόμη κάποιον Ambassador και έχετε ήδη κάποιες απορίες, γράψτε στην Συζήτηση Βικιπαίδεια:Πανεπιστημιακά Εγχειρήματα/ΑΠΘ Μαθηματικό ή την Αγορά.
• Μην καθυστερείτε πολύ να ξεκινήσετε να γράφετε τα λήμματα. Αν το αφήσετε όλοι για την τελευταία στιγμή και έχετε σημαντικό αριθμό αποριών, δεν θα προλαβαίνουν οι Ambassadors να σας παρακολουθούν και να απαντήσουν σε ταυτόχρονα προβλήματα μέσα σε λίγες ημέρες/ώρες.

--geraki (συζήτηση) 16:26, 31 Μαΐου 2013 (UTC)

Επίλυση αποριών

Καλησπέρα.

Θυμίζω σε όλους να μην περιμένετε την τελευταία στιγμή για να γράψετε τα λήμματα: αυτή δεν είναι μια τυπική εργασία που πρέπει απλώς "να ανεβάσετε" μέχρι κάποια ημερομηνία - μια κι έξω. Είναι προτιμότερο να ξεκινήσετε άμεσα εντός της Βικιπαίδειας, και τις ατέλειες να τις λύσετε επί τόπου με την δική μας βοήθεια.

Αν κάποιοι έχουν ακόμη απορίες για πρακτικά ζητήματα επεξεργασίας θα είμαι διαθέσιμος για να τους βοηθήσω, στο εργαστήρι του GreekLUG (http://links.wikimedia.gr/greeklug) σήμερα Παρασκευή στις 20:00. -geraki (συζήτηση) 10:30, 7 Ιουνίου 2013 (UTC)