Σημείο σέλας

Στα μαθηματικά, το σημείο σέλας^[1] ή σημείο μίνιμαξ^[2] είναι ένα σημείο στην επιφάνεια της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, όπου οι κλίσεις (παράγωγοι) σε ορθογώνιες κατευθύνσεις είναι όλες μηδέν (κρίσιμο σημείο), αλλά το οποίο δεν αποτελεί τοπικό ακρότατο σημείο της συνάρτησης^[3]. Ένα παράδειγμα σημείου σέλας είναι όταν υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο με σχετικό ελάχιστο κατά μήκος μιας αξονικής κατεύθυνσης (μεταξύ κορυφών) και με σχετικό μέγιστο κατά μήκος του άξονα διέλευσης. Ωστόσο, ένα σημείο σέλας δεν είναι απαραίτητο να έχει αυτή τη μορφή. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση $f(x,y)=x^{2}+y^{3}$ έχει ένα κρίσιμο σημείο στο $(0,0)$ το οποίο είναι σημείο σέλας αφού δεν είναι ούτε σχετικό μέγιστο ούτε σχετικό ελάχιστο, αλλά δεν έχει σχετικό μέγιστο ή σχετικό ελάχιστο στην κατεύθυνση $y$ .

Το όνομα προέρχεται από το γεγονός ότι το πρωτότυπο δισδιάστατο παράδειγμα είναι μια επιφάνεια που καμπυλώνει προς τα πάνω προς μια κατεύθυνση και καμπυλώνει προς τα κάτω προς μια διαφορετική κατεύθυνση, μοιάζοντας με σέλα ιππασίας. Από την άποψη των γραμμών περιγράμματος, ένα δισδιάστατο σημείο σέλας δημιουργεί έναν χάρτη περιγράμματος με ένα ζεύγος γραμμών που τέμνονται στο σημείο. Τέτοιες τομές είναι σπάνιες σε πραγματικούς τοπογραφικούς χάρτες, καθώς το ύψος του σημείου σέλας είναι απίθανο να συμπίπτει με τα ακέραια πολλαπλάσια που χρησιμοποιούνται σε τέτοιους χάρτες. Αντ' αυτού, το σημείο σέλας εμφανίζεται ως κενό διάστημα στη μέση τεσσάρων σειρών οριζοντιογραφικών γραμμών που το προσεγγίζουν και απομακρύνονται από αυτό. Για ένα βασικό σημείο σέλας, τα σύνολα αυτά εμφανίζονται σε ζεύγη, με ένα αντίθετο υψηλό ζεύγος και ένα αντίθετο χαμηλό ζεύγος τοποθετημένα σε ορθογώνιες κατευθύνσεις. Οι κρίσιμες γραμμές περιγράμματος γενικά δεν χρειάζεται να τέμνονται ορθογώνια.

Μαθηματική συζήτηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα απλό κριτήριο για να ελέγξετε αν ένα δεδομένο σταθερό σημείο μιας συνάρτησης πραγματικών τιμών F(x,y) δύο πραγματικών μεταβλητών είναι σημείο σέλας είναι να υπολογίσετε τον Εσσιανό πίνακα της συνάρτησης στο σημείο αυτό: αν η Εσσιανή είναι αόριστη, τότε το σημείο αυτό είναι σημείο σέλας. Παραδείγματος χάριν, ο Εσσιανός πίνακας της συνάρτησης $z=x^{2}-y^{2}$ στο σταθερό σημείο $(x,y,z)=(0,0,0,0)$ είναι ο πίνακας

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}

ο οποίος είναι αόριστος. Επομένως, το σημείο αυτό είναι σημείο σέλας. Αυτό το κριτήριο παρέχει μόνο μια επαρκή συνθήκη. Παραδείγματος χάριν, το σημείο $(0,0,0)$ είναι σημείο σέλας για τη συνάρτηση $z=x^{4}-y^{4},$ αλλά ο Εσσιανός πίνακας αυτής της συνάρτησης στην αρχή είναι ο μηδενικός πίνακας, ο οποίος δεν είναι αόριστος.

Σε γενικούς όρους, ένα σημείο σέλας για μια ομαλή συνάρτηση (της οποίας η γραφική παράσταση είναι μία καμπύλη, μία επιφάνεια ή μία υπερεπιφάνεια) είναι ένα σταθερό σημείο τέτοιο ώστε η καμπύλη/επιφάνεια/κ.λπ. στη γειτονιά αυτού του σημείου να μην βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε καμία πλευρά του εφαπτόμενου χώρου σε αυτό το σημείο.

Σε ένα πεδίο μίας διάστασης, ένα σημείο σέλας είναι ένα σημείο που είναι ταυτόχρονα σταθερό σημείο και σημείο καμπής. Εφόσον είναι σημείο καμπής, δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Επιφάνεια σέλας [Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια επιφάνεια σέλας είναι μια λεία επιφάνεια που περιέχει ένα ή περισσότερα σημεία σέλας.

Κλασικά παραδείγματα δισδιάστατων επιφανειών σέλας στον Ευκλείδειο χώρο είναι οι επιφάνειες δεύτερης τάξης, το υπερβολικό παραβολοειδές $z=x^{2}-y^{2}$ (η οποία συχνά αναφέρεται ως "επιφάνεια σέλας" ή "τυπική επιφάνεια σέλας") και το μονόχωνο υπερβολοειδές. Το πατατάκι ή το πατατάκι Pringles είναι ένα καθημερινό παράδειγμα σχήματος υπερβολικού παραβολοειδούς.

Οι επιφάνειες σέλας έχουν αρνητική καμπυλότητα Γκάους, γεγονός που τις διακρίνει από τις κυρτές/ελλειπτικές επιφάνειες που έχουν θετική καμπυλότητα Γκάους. Μια κλασική επιφάνεια σέλας τρίτης τάξης είναι η σέλα του πιθήκου^[4]^[5].

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσματος δύο παικτών που ορίζεται σε έναν συνεχή χώρο, το σημείο ισορροπίας είναι ένα σημείο σέλας.

Για ένα γραμμικό αυτόνομο σύστημα δεύτερης τάξης, ένα κρίσιμο σημείο είναι σημείο σέλας αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μία θετική και μία αρνητική πραγματική ιδιοτιμή^[6].

Στη βελτιστοποίηση που υπόκειται σε περιορισμούς ισότητας, οι συνθήκες πρώτης τάξης περιγράφουν ένα σημείο σέλας της Λαγκρανζιανής^[7].

Άλλες χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα δυναμικά συστήματα, αν η δυναμική δίνεται από έναν διαφορίσιμο χάρτη f, τότε ένα σημείο είναι υπερβολικό αν και μόνο αν το διαφορικό του ƒ ⁿ (όπου n είναι η περίοδος του σημείου) δεν έχει καμία ιδιοτιμή στον (μιγαδικό) μοναδιαίο κύκλο όταν υπολογίζεται στο σημείο. Τότε ένα σημείο σέλας είναι ένα υπερβολικό περιοδικό σημείο του οποίου η σταθερή και η ασταθής πολλαπλότητα έχουν διάσταση που δεν είναι μηδέν.

Ένα σημείο σέλας ενός πίνακα είναι ένα στοιχείο που είναι ταυτόχρονα το μεγαλύτερο στοιχείο στη στήλη του και το μικρότερο στοιχείο στη γραμμή του.