Περιοχή κυρίων ιδεωδών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Μια ακεραία περιοχή R καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Γνωρίζουμε ότι αν  R σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το R=<1> και το μηδενικό ιδεώδες \{0_R\}=<0_R> και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
  • Ο \mathbb{Z}[x] είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες <2,x> υπάρχει h(x) \in \mathbb{Z}[x] τέτοιο ώστε <2,x>=<h(x)> προκύπτει ότι h(x)=\pm 1 ήh(x)=\pm x. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε \pm 1=2k(x)+x, άτοπο, ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι 2 \in <2,x>=<h(x)>=<x> και άρα  2=x k(x) ,άτοπο.
  • Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος \{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,a\equiv b \pmod{2} \}.