Ιδεώδες (μαθηματικά)
![]() |
Αυτό το λήμμα χρειάζεται μορφοποίηση ώστε να ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές μορφοποίησης της Βικιπαίδειας. |
![]() |
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Στη Θεωρία δακτυλίων ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.
Ταξινόμηση | |
---|---|
Dewey | 510 |
MSC2010 | 16D25 |
Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω ) δακτύλιος και ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως αν ισχύουν τα εξής:
- για κάθε , δηλαδή το αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου
- και , για κάθε
- Υπάρχει στο
- Υπάρχει στο τέτοιο ώστε να ισχύει
Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου . Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο αποτελεί ιδεώδες.
Μεγιστικό ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω ) δακτύλιος και ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε με έπεται ότι ή .
Πρώτο Ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Έστω ) δακτύλιος και ένα ιδεώδες του. Το θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:
- Αν τότε είτε είτε .
Προκύπτει ότι κάθε μεγιστικό ιδεώδες του είναι πρώτο.
Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο
- Έστω ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.
- Το σύνολο είναι ένα ιδεώδες του που περιέχει το .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με .
- Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες του είναι πρώτο και μέγιστο.
Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη