Ιδεώδες (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Ιδεώδες (μαθηματικά)
Ταξινόμηση
Dewey510
MSC201016D25

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ) δακτύλιος και ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως αν ισχύουν τα εξής:

  • για κάθε , δηλαδή το αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου
  • και , για κάθε
  • Υπάρχει στο
  • Υπάρχει στο τέτοιο ώστε να ισχύει

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου . Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο αποτελεί ιδεώδες.

Μέγιστο ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ) δακτύλιος και ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μέγιστο ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε με έπεται ότι ή .

Πρώτο Ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ) δακτύλιος και ένα ιδεώδες του. Το θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

  • Αν τότε είτε είτε .

Προκύπτει ότι κάθε μέγιστο ιδεώδες του είναι πρώτο, καθώς και ότι κάθε πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο
  • Το σύνολο είναι ένα ιδεώδες του που περιέχει το .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με .
  • Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες του είναι πρώτο και μέγιστο.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη