Ιδεώδες (μαθηματικά)

Ιδεώδες (μαθηματικά)
Ταξινόμηση
Dewey	510
MSC2010	16D25
	π; σ; ε;

Στη Θεωρία δακτυλίων ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το $I$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I\triangleleft {\mathcal {R}}$ αν ισχύουν τα εξής:

$a-b\in I$ για κάθε $a,b\in I$ , δηλαδή το $I$ αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου

$r\cdot a\in I$ και $a\cdot r\in I$ , για κάθε $r\in {\mathcal {R}},a\in I$
Υπάρχει $a\neq 0$ στο $I$
Υπάρχει $d\neq 0$ στο ${\mathcal {R}}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $dI\subset {\mathcal {R}}$

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες $I$ του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου $\{0\}$ . Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο $\{0\}$ αποτελεί ιδεώδες.

Μέγιστο ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $M\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μέγιστο ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε $I\triangleleft R$ με $M\subset I\subset {\mathcal {R}}$ έπεται ότι $I=M$ ή $I={\mathcal {R}}$ .

Πρώτο Ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$ ) δακτύλιος και ${\mathcal {P}}\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το ${\mathcal {P}}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

Αν $ab\in {\mathcal {P}}$ τότε είτε $a\in {\mathcal {P}}$ είτε $b\in {\mathcal {P}}$ .

Προκύπτει ότι κάθε μέγιστο ιδεώδες του ${\mathcal {R}}$ είναι πρώτο, καθώς και ότι κάθε πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_{R}\}$

Έστω $F:R\rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

Το σύνολο $\{ra;r\in R\}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$ .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με $<a>$ .

Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες $<p>$ του $\mathbb {Z}$ είναι πρώτο και μέγιστο.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη

Ιδεώδες (μαθηματικά)

Πίνακας περιεχομένων

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μέγιστο ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρώτο Ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση