Ιδεώδες (μαθηματικά)

Ιδεώδες (μαθηματικά)

Ταξινόμηση
Dewey	510
MSC2010	16D25

Ορισμός

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$$({\mathcal {R}},+,\cdot$) δακτύλιος και $I$$I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το $I$$I$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I\triangleleft {\mathcal {R}}$$I\triangleleft {\mathcal {R}}$ αν ισχύουν τα εξής:

• $a-b\in I$$a-b\in I$ για κάθε $a,b\in I$$a,b\in I$

• $r\cdot a\in I$$r\cdot a\in I$ και $a\cdot r\in I$$a\cdot r\in I$, για κάθε $r\in {\mathcal {R}},a\in I$$r\in {\mathcal {R}},a\in I$

Μεγιστικό ιδεώδες

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$$({\mathcal {R}},+,\cdot$) δακτύλιος και $M\neq {\mathcal {R}}$$M\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε $I\triangleleft R$$I\triangleleft R$ με $M\subset I\subset {\mathcal {R}}$$M\subset I\subset {\mathcal {R}}$ έπεται ότι $I=M$$I=M$ ή $I={\mathcal {R}}$$I={\mathcal {R}}$.

Πρώτο Ιδεώδες

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$$({\mathcal {R}},+,\cdot$) δακτύλιος και ${\mathcal {P}}\neq {\mathcal {R}}$${\mathcal {P}}\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το ${\mathcal {P}}$${\mathcal {P}}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

• Αν $ab\in {\mathcal {P}}$$ab\in {\mathcal {P}}$ τότε είτε $a\in {\mathcal {P}}$$a\in {\mathcal {P}}$ είτε $b\in {\mathcal {P}}$$b\in {\mathcal {P}}$.

Παραδείγματα

• Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_{R}\}$$\{0_{R}\}$

• Έστω $F:R\rightarrow S$$F:R\rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

• Το σύνολο $\{ra;r\in R\}$$\{ra;r\in R\}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$$R$ που περιέχει το $a$$a$.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με $<a>$$<a>$.

• Έστω p ένας πρώτος αριθμός.Τότε το ιδεώδες $<p>$$<p>$ του $\mathbb {Z}$${\mathbb {Z}}$ είναι πρώτο και μεγιστικό.