Ευκλείδεια περιοχή

Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή ${\mathcal {R}}$ εφοδιασμένη με μια απεικόνιση ${\displaystyle \delta$ :{\mathcal {R}}\smallsetminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z} ^{+}} η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

• αν $a/b$ τότε $\delta (a)\leq \delta (b)$

• Για κάθε $a,b\in {\mathcal {R}}$ υπάρχουν $q,r\in {\mathcal {R}}$ όπου $b=qa+r$ και είτε $r=0$ είτε $\delta (r)<\delta (a)$.

Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της ${\mathcal {R}}$.

ψευδο-δακτύλιοι ⊃ δακτύλιοι ⊃ αντιμεταθετικοί δακτύλιοι ⊃ ακέραια περιοχή ⊃ ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή ⊃ περιοχή ΜΚΔ ⊃ περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης ⊃ περιοχή κυρίων ιδεωδών ⊃ ευκλείδεια περιοχή ⊃ σώματα ⊃ αλγεβρικά κλειστό σώμα

Παραδείγματα

• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών $\mathbb {Z}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta (x)=|x|$.

• Το σύνολο των ακεραίων του Gauss $\mathbb {Z} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta (a+bi)=a^{2}+b^{2}$.