Ευκλείδεια περιοχή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή \mathcal{R} εφοδιασμένη με μια απεικόνιση \delta : \mathcal{R}\smallsetminus \{0\} \rightarrow \mathbb{Z}^{+} η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

  • αν a/b τότε \delta(a)\le \delta(b)
  • Για κάθε a,b \in \mathcal{R} υπάρχουν q,r \in \mathcal{R} όπου b=qa+r και είτε r=0 είτε \delta(r)<\delta(a).

Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της \mathcal{R}.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το σύνολο των ακεραίων αριθμών \mathbb{Z} είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την \delta(x)=|x|.
  • Το σύνολο των ακεραίων του Gauss \mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την \delta(a+bi)=a^2+b^2.