Ευκλείδεια περιοχή

Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ εφοδιασμένη με μια απεικόνιση $\delta :{\mathcal {R}}\smallsetminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z} ^{+}$$\delta :{\mathcal {R}}\smallsetminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z} ^{+}$ η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

• αν $a/b$$a/b$ τότε $\delta (a)\leq \delta (b)$$\delta (a)\leq \delta (b)$

• Για κάθε $a,b\in {\mathcal {R}}$$a,b\in {\mathcal {R}}$ υπάρχουν $q,r\in {\mathcal {R}}$$q,r\in {\mathcal {R}}$ όπου $b=qa+r$$b=qa+r$ και είτε $r=0$$r=0$ είτε $\delta (r)<\delta (a)$$\delta (r)<\delta (a)$.

Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$.

Παραδείγματα

• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών $\mathbb {Z}$${\mathbb {Z}}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta (x)=|x|$$\delta (x)=|x|$.

• Το σύνολο των ακεραίων του Gauss $\mathbb {Z} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}$$\mathbb {Z} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta (a+bi)=a^{2}+b^{2}$$\delta (a+bi)=a^{2}+b^{2}$.