Περικοπτόμενος πρώτος αριθμός

Στη θεωρία αριθμών, ένας περικοπτόμενος πρώτος είναι ένας πρώτος αριθμός ο οποίος, σε μια δεδομένη βάση, δεν περιέχει 0, και αν το πρώτο ("αριστερό") ψηφίο αφαιρεθεί διαδοχικά, τότε όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν είναι πρώτοι. Για παράδειγμα, το 9.137 είναι ένας αριστερά-κολοβωμένος πρώτος, αφού το 9.137, το 137, το 37 και το 7 είναι όλοι πρώτοι. Η δεκαδική αναπαράσταση συχνά θεωρείται και χρησιμοποιείται πάντα σε αυτό το άρθρο.

Ένας δεξιά περικοπτόμενος πρώτος είναι ένας πρώτος που παραμένει πρώτος όταν αφαιρεθεί διαδοχικά το τελευταίο ("δεξί") ψηφίο. Το 7.393 είναι ένα παράδειγμα δεξιού-κολοβωμένου πρώτου, αφού το 7.393, το 739, το 73 και το 7 είναι όλοι πρώτοι.

Ένας αριστερά-και-δεξιά-περικοπτόμενος πρώτος είναι ένας πρώτος που παραμένει πρώτος εάν αφαιρέσουμε διαδοχικά το πρώτο ("αριστερό") και τελευταίο ("δεξί") ψηφίο και καταλήξουμε με ένα ή δύο ψηφία. Το 1.825.711 είναι ένα παράδειγμα αριστερού-και-δεξιού-κολοβωμένου πρώτου, αφού το 1.825.711, το 82.571, το 257 και το 5 είναι όλοι πρώτοι.

Στη βάση 10, υπάρχουν ακριβώς 4.260 αριστερά-κολοβωμένοι πρώτοι, 83 δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι, και 920.720.315 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι.

Ιστορία

Ένας συγγραφέας με το όνομα Leslie E. Card στους πρώτους τόμους του Journal of Recreational Mathematics (που ξεκίνησε να κυκλοφορεί το 1968) θεώρησε ένα θέμα κοντά σε αυτό των δεξιά-κολοβωμένων πρώτων, καλώντας ακολουθίες και προσθέτοντας ψηφία στα δεξιά με τη σειρά σε έναν αρχικό αριθμό.

Η συζήτηση του θέματος χρονολογείται τουλάχιστον τον Νοέμβριο του 1969, στο Mathematics Magazine, όπου οι κολοβωμένοι πρώτοι ονομάστηκαν πρώτοι πρώτοι, από δύο συν-συγγραφείς (Murray Berg και John E. Walstrom).

Δεκαδικοί κολοβωμένοι πρώτοι

Υπάρχουν 4.260 αριστερά-κολοβωμένοι πρώτοι:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 283, 313, 317, 337, 347, 353, 367, 373, 383, 397, 443, 467, 523, 547, 613, 617, 643, 647, 653, 673, 683, 743, 773, 797, 823, 853, 883, 937, 947, 953, 967, 983, 997, ... (ακολουθία A024785 στην OEIS)

Ο μεγαλύτερος είναι ο 357.686.312.646.216.567.629.137 (24 ψηφία).

Υπάρχουν 83 δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι. Ολόκληρη η λίστα:

2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797, 2.333, 2.339, 2.393, 2.399, 2.939, 3.119, 3.137, 3.733, 3.739, 3.793, 3.797, 5.939, 7.193, 7.331, 7.333, 7.393, 23.333, 23.339, 23.399, 23.993, 29.399, 31.193, 31.379, 37.337, 37.339, 37.397, 59.393, 59.399, 71.933, 73.331, 73.939, 233.993, 239.933, 293.999, 373.379, 373.393, 593.933, 593.993, 719.333, 739.391, 739.393, 739.397, 739.399, 2.339.933, 2.399.333, 2.939.999, 3.733.799, 5.939.333, 7.393.913, 7.393.931, 7.393.933, 23.399.339, 29.399.999, 37.337.999, 59.393.339, 73.939.133 (ακολουθία A024770 στην OEIS)

Ο μεγαλύτερος είναι ο 73.939.133 (8 ψηφία). Όλοι οι πρώτοι πάνω από 5 τελειώνουν με το ψηφίο 1, 3, 7 ή 9, οπότε ένας δεξιά-κολοβωμένος πρώτος μπορεί να περιέχει μόνο αυτά τα ψηφία μετά το πρώτο ψηφίο.

Υπάρχουν 920.720.315 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 127, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 223, 227, 229, 233, 239, 251, 257, 271, 277, 331, 337, 353, 359, 373, 379, 421, 431, 433, 439, 457, 479, 521, 523, 557, 571, 577, 631, 653, 659, 673, 677, 727, 733, 739, 751, 757, 773, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 877, 929, 937, 953, 971, 977, 1.117, 1.171, 1.193, 1.231, 1.237, 1.291, 1.297, 1.319, 1.373, 1.433, 1.439, 1.471, 1.531, 1.597, 1.613, 1.619, ... (ακολουθία A077390 στην OEIS)

Υπάρχουν 331.780.864 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι με περιττό αριθμό ψηφίων. Ο μεγαλύτερος είναι ο 7.228.828.176.786.792.552.781.668.926.755.667.258.635.743.361.825.711.373.791.931.117.197.999.133.917.737.137.399.993.737.111.177 (97 ψηφία).

Υπάρχουν 588.939.451 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι με άρτιο αριθμό ψηφίων. Ο μεγαλύτερος είναι ο 91.617.596.742.869.619.884.432.721.391.145.374.777.686.825.634.291.523.771.171.391.111.313.737.919.133.977.331.737.137.933.773.713.713.973 (104 ψηφία).

Υπάρχουν 15 πρώτοι που είναι ταυτόχρονα αριστερά-κολοβωμένοι και δεξιά-κολοβωμένοι. Έχουν ονομαστεί διπλής-όψης πρώτοι. Ολόκληρη η λίστα:

2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3.137, 3.797, 739.397 (ακολουθία A020994 στην OEIS)

Ένας αριστερά-κολοβωμένος πρώτος ονομάζεται περιορισμένος εάν όλες οι αριστερές επεκτάσεις του είναι σύνθετες, δηλαδή δεν υπάρχει άλλος αριστερά-κολοβωμένος πρώτος εκ των οποίων αυτός ο πρώτος είναι η αριστερά-κολοβωμένη "ουρά". Επομένως, το 7.937 είναι ένας περιορισμένος αριστερά-κολοβωμένος πρώτος, επειδή οι εννέα πενταψήφιοι αριθμοί που τελειώνουν σε 7937 είναι όλοι σύνθετοι, ενώ το 3.797 είναι ένας αριστερά-κολοβωμένος πρώτος που δεν είναι περιορισμένος επειδή το 33.797 είναι επίσης πρώτος.

Υπάρχουν 1.442 περιορισμένοι αριστερά-κολοβωμένοι πρώτοι:

2, 5, 773, 3.373, 3.947, 4.643, 5.113, 6.397, 6.967, 7.937, 15.647, 16.823, 24.373, 33.547, 34.337, 37.643, 56.983, 57.853, 59.743, 62.383, 63.347, 63.617, 69.337, 72.467, 72.617, 75.653, 76.367, 87.643, 92.683, 97.883, 98.317, ... (ακολουθία A240768 στην OEIS)

Ομοίως, ένας δεξιά-κολοβωμένος πρώτος ονομάζεται περιορισμένος εάν όλες οι δεξιές επεκτάσεις του είναι σύνθετες. Υπάρχουν 27 περιορισμένοι δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι:

53, 317, 599, 797, 2.393, 3.793, 3.797, 7.331, 23.333, 23.339, 31.193, 31.379, 37.397, 73.331, 373.393, 593.993, 719.333, 739.397, 739.399, 2.399.333, 7.393.931, 7.393.933, 23.399.339, 29.399.999, 37.337.999, 59.393.339, 73.939.133 (ακολουθία A239747 στην OEIS)

Άλλες βάσεις

Παρόλο που η πρωταρχικότητα ενός αριθμού δεν εξαρτάται από το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται, οι κολοβωμένοι πρώτοι ορίζονται μόνο σε σχέση με μια δεδομένη βάση. Μια παραλλαγή περιλαμβάνει την αφαίρεση 2 ή περισσότερων δεκαδικών ψηφίων κάθε φορά. Αυτό είναι μαθηματικά ισοδύναμο με τη χρήση της βάσης 100 ή μεγαλύτερης δύναμης του 10, με τον περιορισμό ότι οι βάσεις με 10^ν ψηφία πρέπει να είναι τουλάχιστον 10^ν-1, ώστε να ταιριάζουν με έναν δεκαδικό αριθμό με ν-ψηφία χωρίς το πρώτο να είναι 0.

Δείτε επίσης

• Επιτρεπόμενος πρώτος

Βιβλιογραφικές αναφορές

• Weisstein, Eric W., "Truncatable Prime" από το MathWorld.
• Caldwell, Chris, left-truncatable prime and right-truncatable primes, at the Prime Pages glossary.
• Rivera, Carlos, Problems & Puzzles: Puzzle 2.- Prime strings and Puzzle 131.- Growing primes

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Grime, Dr. James. «357686312646216567629137» (video). YouTube. Brady Haran. Ανακτήθηκε στις 27 Ιουλίου 2018.