Περίοδος (αλγεβρική γεωμετρία)

Για τη συχνότερη σημασία της λέξης "περίοδος" στα μαθηματικά, δείτε Περιοδική συνάρτηση.

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια περίοδος είναι ένας αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το ολοκλήρωμα μιας αλγεβρικής συνάρτησης σε ένα αλγεβρικό πεδίο. Τα αθροίσματα και τα γινόμενα περιόδων παραμένουν περίοδοι, έτσι ώστε οι περίοδοι να σχηματίζουν δακτύλιο.

Οι Μάξιμ Κόντσεβιτς και Ντον Ζάγκερ έδωσαν μια επισκόπηση των περιόδων και παρουσίασαν ορισμένες εικασίες σχετικά με αυτές. Οι περίοδοι εμφανίζονται επίσης στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων από διαγράμματα Φέινμαν, και έγινε εντατική δουλειά για να προσπαθήσει κανείς να κατανοήσει τις συνδέσεις .

Ορισμός

Ένας πραγματικός αριθμός θεωρείται περίοδος αν είναι της μορφής

$\int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0}Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots$

όπου $P$ είναι ένα πολυώνυμο και $Q$ μια ρητή συνάρτηση στον $\mathbb {R} ^{n}$ με ρητούς συντελεστές. Ένας μιγαδικός αριθμός είναι περίοδος αν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του είναι περίοδοι.

Ένας εναλλακτικός ορισμός επιτρέπει στα $P$ και $Q$ να είναι αλγεβρικές συναρτήσεις. Αυτός ο ορισμός φαίνεται πιο γενικός, αλλά είναι ισοδύναμος. Οι συντελεστές των ρητών συναρτήσεων και των πολυωνύμων μπορούν επίσης να γενικευτούν σε αλγεβρικούς αριθμούς, επειδή οι άρρητοι αλγεβρικοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως προς τα πεδία κατάλληλων περιοχών.

Στην άλλη κατεύθυνση, το $Q$ μπορεί να περιοριστεί να είναι η σταθερή συνάρτηση $1$ or $-1$ ή $-1$, αντικαθιστώντας το ολοκλήρωμα με ένα ολοκλήρωμα του $\pm 1$ σε μια περιοχή που ορίζεται από ένα πολυώνυμο σε πρόσθετες μεταβλητές. Με άλλα λόγια, μια (μη αρνητική) περίοδος είναι ο όγκος μιας περιοχής στο $\mathbb {R} ^{n}$ που ορίζεται από μια πολυωνυμική ανισότητα.

Παραδείγματα

Εκτός από τους αλγεβρικούς αριθμούς, οι ακόλουθοι αριθμοί είναι γνωστό ότι είναι περίοδοι:

• Ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε θετικού αλγεβρικού αριθμού α, ο οποίος είναι $\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x$
• π $=\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x$
• Ελλειπτικά ολοκληρώματα με ρητά επιχειρήματα
• Όλες οι σταθερές ζήτα (η συνάρτηση ζήτα Ρίμαν ενός ακέραιου αριθμού) και οι πολλαπλές τιμές ζήτα
• Ειδικές τιμές των υπεργεωμετρικών συναρτήσεων σε αλγεβρικά ορίσματα
• (p/q)^q για φυσικούς αριθμούς p και q.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα πραγματικού αριθμού που δεν είναι περίοδος είναι η σταθερά Ω του Τσάιτιν. Οποιοσδήποτε άλλος μη υπολογίσιμος αριθμός δίνει επίσης ένα παράδειγμα πραγματικού αριθμού που δεν είναι περίοδος. Προς το παρόν δεν υπάρχουν φυσικά παραδείγματα υπολογίσιμων αριθμών που να έχει αποδειχθεί ότι δεν είναι περίοδοι, ωστόσο είναι δυνατόν να κατασκευαστούν τεχνητά παραδείγματα. Πιθανοί υποψήφιοι αριθμοί που δεν είναι περίοδοι είναι το e, το 1/π και η σταθερά Όιλερ - Μαστσερόνι γ.

Ιδιότητες και κίνητρα

Οι περίοδοι αποσκοπούν στη γεφύρωση του χάσματος μεταξύ των αλγεβρικών αριθμών και των υπερβατικών αριθμών. Η κλάση των αλγεβρικών αριθμών είναι πολύ στενή για να περιλαμβάνει πολλές κοινές μαθηματικές σταθερές, ενώ το σύνολο των υπερβατικών αριθμών δεν είναι μετρήσιμο και τα μέλη του δεν είναι γενικά υπολογίσιμα.

Το σύνολο όλων των περιόδων είναι μετρήσιμο, και όλες οι περίοδοι είναι υπολογίσιμες και ειδικότερα ορίσιμες.

Εικασίες

Πολλές σταθερές που είναι γνωστές ως περίοδοι δίνονται επίσης από ολοκληρώματα υπερβατικών συναρτήσεων. Οι Κόντσεβιτς και Ζαγκίερ σημειώνουν ότι "δεν φαίνεται να υπάρχει κανένας γενικός κανόνας που να εξηγεί γιατί ορισμένα άπειρα αθροίσματα ή ολοκληρώματα υπερβατικών συναρτήσεων είναι περίοδοι".

Οι Κόντσεβιτς και Ζαγκίερ υπέθεσαν ότι, αν μια περίοδος δίνεται από δύο διαφορετικά ολοκληρώματα, τότε κάθε ολοκλήρωμα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο χρησιμοποιώντας μόνο τη γραμμικότητα των ολοκληρωμάτων (τόσο στο ολοκλήρωμα όσο και στο πεδίο), τις αλλαγές των μεταβλητών και τον τύπο Νεύτων-Λάιμπνιτς.

$\int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$

(ή, γενικότερα, ο τύπος Στόκς).

Μια χρήσιμη ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών είναι ότι η ισότητα μεταξύ δύο αλγεβρικών εκφράσεων μπορεί να προσδιοριστεί αλγοριθμικά. Η εικασία των Κόντσεβιτς και Ζαγιέ υπονοεί ότι η ισότητα των περιόδων είναι επίσης αποφασίσιμη: η ανισότητα των υπολογίσιμων πραγματικών αριθμών είναι γνωστή αναδρομικά απαριθμήσιμη- και αντίστροφα, αν δύο ολοκληρώματα συμφωνούν, τότε ένας αλγόριθμος θα μπορούσε να το επιβεβαιώσει δοκιμάζοντας όλους τους πιθανούς τρόπους μετασχηματισμού του ενός από αυτά στο άλλο.

Εικάζεται ότι ο αριθμός e του Όιλερ και η σταθερά γ των Όιλερ-Μαστσερόνι δεν είναι περίοδοι.

Γενικεύσεις

Οι περίοδοι μπορούν να επεκταθούν σε εκθετικές περιόδους επιτρέποντας στο ολοκλήρωμα $Q$} να είναι το γινόμενο μιας αλγεβρικής συνάρτησης και του εκθετικού μιας αλγεβρικής συνάρτησης. Αυτή η επέκταση περιλαμβάνει όλες τις αλγεβρικές δυνάμεις του e, τη συνάρτηση γάμμα λογικών ορίων και τις τιμές των συναρτήσεων Μπέσελ.

Οι Κόντσεβιτς και Ζαγκίερ προτείνουν ότι υπάρχουν "ενδείξεις" ότι οι περίοδοι μπορούν φυσικά να γενικευτούν ακόμη περισσότερο, ώστε να συμπεριλάβουν τη σταθερά του Όιλερ γ. Με αυτή τη συμπερίληψη, "όλες οι κλασικές σταθερές είναι περίοδοι με την κατάλληλη έννοια".

Δημοσιεύσεις

• Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003), «Periods and Igusa local zeta functions», International Mathematics Research Notices 2003 (49): 2655–2670, doi:10.1155/S107379280313142X, ISSN 1073-7928 
• Waldschmidt, Michel (2006), «Transcendence of periods: the state of the art», Pure and Applied Mathematics Quarterly 2 (2): 435–463, doi:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3, ISSN 1558-8599, https://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf 

Βιβλιογραφία

• Periods and Nori Motives"
• Periods And Special Functions In Transcendence
• "Period Domains over Finite and p-adic Fields"
• "Period Mappings with Applications to Symplectic Complex Spaces"
• "Absolute CM-Periods"
• "Periods of Quaternionic Shimura Varieties. I."

Παραπομπές

• Kontsevich, Maxim· Zagier, Don (2001). «Periods» (PDF). Στο: Engquist, Björn· Schmid, Wilfried, επιμ. Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin, New York City: Springer. σελίδες 771–808. ISBN 9783540669135. MR 1852188. 

• Marcolli, Matilde (2010). «Feynman integrals and motives». European Congress of Mathematics. Eur. Math. Soc. Zürich. σελίδες 293–332. arXiv:0907.0321 . 

Σημειώσεις