Πανψηφιακός αριθμός

Ως πανψηφιακός αριθμός ονομάζεται ο φυσικός αριθμός στον οποίο περιέχονται τουλάχιστον μια φορά το κάθε ένα ψηφίο του αριθμητικού του συστήματος / αριθμητικής βάσης.

Τύπος

Ο τύπος βάσει του οποίου εξακριβώνεται με μαθηματικό τρόπο το εάν κάποιος αριθμός είναι πανψηφιακός είναι όπως παρακάτω (b = αριθμητική βάση):

$b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}$

Βάσεις και συστήματα

Όλοι οι αριθμοί του μοναδικού συστήματος είναι πανψηφιακοί καθώς στο σύστημα αυτό υπάρχει μονάχα ένα ψηφίο. Στο δυαδικό σύστημα όλοι οι ακέραιοι είναι πανψηφιακοί εκτός απο το 0 και τους αριθμούς της μορφής $2^{n}-1$ (πρώτοι αριθμοί Μερσέν). Όσο πιο μεγάλη η αριθμητική βάση, τόσο περισσότερο σπανίζουν οι πανψηφιακοί αριθμοί.

Κανένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος δεν μπορεί να είναι πρώτος αριθμός εάν δεν διαθέτει πλεονάζοντα ψηφία. Ο πρώτος πανψηφιακός δεκαδικός πρώτος αριθμός είναι ο 10123457689. Η ίδια συνθήκη ισχύει έτσι ώστε κάποιος πανψηφιακός αριθμός να είναι και παλινδρομικός αριθμός.

Αριθμητική βάση	Μικρότερος πανψηφιακός	Αντιστοιχία στην βάση 10
Μοναδικό σύστημα	11	110
Δυαδικό σύστημα	102	210
Τριαδικό σύστημα	1023	1110
Τετραδικό σύστημα	10234	7510
Οκταδικό σύστημα	102345678	217739910
Δεκαδικό σύστημα	102345678910	102345678910
Δωδεκαδικό σύστημα	1023456789AB12	75477778702710
Δεκαεξαδικό σύστημα	1023456789ABCDEF16	116284943978540593510
Βάση 36	1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ36	295996222664366503985985886713388219192299971719987071510
Ελληνικό σύστημα	αβγδεϚζηθικλμνξοπϟρσςτυφχψωϡ	519510
Ρωμαϊκό σύστημα	MCDXLIV	144410

Ακολουθία

Οι πρώτοι 10 πανψηφιακοί αριθμοί στην βάση 10 είναι οι:

• 1023456789₁₀
• 1023456798₁₀
• 1023456879₁₀
• 1023456897₁₀
• 1023456978₁₀
• 1023456987₁₀
• 1023457689₁₀
• 1023457698₁₀
• 1023457869₁₀
• 1023457896₁₀

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Pandigital number" από το MathWorld.
• De Geest, P. The Nine Digits Page [1]
• Sloane, N. J. A. Sequences [2], [3], [4], and [5] in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.