Πίνακας του Μιούλερ

Ο πίνακας Μιούλερ είναι ένας πίνακας 4 γραμμών και 4 στηλών που εισήχθη από τον Χανς Μιούλερ τη δεκαετία του 1940 για τον χειρισμό των διανυσμάτων του Στόουκς που αντιπροσωπεύουν την πόλωση του ασυνεπούς φωτός.

Σε αυτή την τεχνική, η επίδραση ενός οπτικού στοιχείου διαμορφώνεται από έναν πίνακα Μιούλερ - έναν πίνακα 4x4 που αποτελεί γενίκευση των πινάκων Τζόουνς.

Το φως που δεν έχει πολωθεί ή είναι μερικώς πολωμένο στηρίζεται σε πίνακες Μιούλερ, ενώ το πλήρως πολωμένο φως μπορεί να αντιμετωπιστεί είτε με πίνακες Μιούλερ είτε με πίνακες Τζόουνς.

Πολλά προβλήματα που αφορούν το συνεκτικό φως, όπως αυτό που προέρχεται από λέιζερ, πρέπει να αντιμετωπίζονται με πίνακες Τζόουνς, επειδή προσδιορίζονται από το ηλεκτρικό πεδίο και όχι μόνο από την ένταση της ενέργειας, και έτσι δεν χάνεται καμία πληροφορία για τη φάση του κύματος.

Εισαγωγή

Αν δεν ληφθεί υπόψιν η συνεκτική υπέρθεση των κυμάτων, κάθε πλήρως πολωμένη, μερικώς πολωμένη ή μη πολωμένη κατάσταση του φωτός μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσμα Στόουκς (${\vec {S}}$) και κάθε οπτικό στοιχείο μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα Μιούλερ (M).

Αν μια δέσμη φωτός βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση ${\vec {S}}_{i}$ και στη συνέχεια διέρχεται από ένα οπτικό στοιχείο Μ και βγαίνει στην κατάσταση ${\vec {S}}_{o}$, τότε γράφεται

${\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .$

Εάν μια δέσμη φωτός διέρχεται από το οπτικό στοιχείο M₁ ακολουθούμενη από το M₂ και στη συνέχεια από το M₃ γράφεται

${\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)$

δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι προσεταιριστικός μπορεί να γραφτεί

${\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\ .$

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, οπότε γενικά

$\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .$

Μιούλερ και Τζόουνς λογισμοί

Χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η συνοχή, το φως που είναι μη πολωμένο ή μερικώς πολωμένο πρέπει να αντιμετωπίζεται με τον λογισμό Μιούλερ, ενώ το πλήρως πολωμένο φως μπορεί να αντιμετωπίζεται είτε με τον λογισμό Μιούλερ είτε με τον απλούστερο λογισμό Τζόουνς. Ωστόσο, πολλά προβλήματα που αφορούν συνεκτικό φως (όπως από ένα λέιζερ) πρέπει να αντιμετωπίζονται με τον λογισμό Τζόουνς, επειδή αυτός εργάζεται απευθείας με το ηλεκτρικό πεδίο του φωτός και όχι με την ένταση ή την ισχύ του, και έτσι διατηρεί πληροφορίες σχετικά με τη φάση των κυμάτων. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να ειπωθούν τα εξής για τους πίνακες Μιούλερ και τους πίνακες Τζόουνς:

Τα διανύσματα Στόουκς και οι πίνακες Μιούλερ λειτουργούν με τις εντάσεις και τις διαφορές τους, δηλαδή τις ασυνεχείς επαλληλίες του φωτός- δεν είναι κατάλληλα για να περιγράψουν ούτε τα φαινόμενα παρεμβολής ούτε τα φαινόμενα περίθλασης.

(...)

Οποιοσδήποτε πίνακας Τζόουνς [J] μπορεί να μετασχηματιστεί στον αντίστοιχο πίνακα Μιούλερ-Τζόουνς, Μ, χρησιμοποιώντας την ακόλουθη σχέση:

$\mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}}$,

όπου * υποδηλώνει το συζυγή ανάστροφο [sic], [A ειναι:]

$\mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}$

και ⊗ είναι το γινόμενο του τανυστή («Κρόνεκερ»).

(...)

Ενώ ο πίνακας Τζόουνς έχει οκτώ ανεξάρτητες παραμέτρους [δύο καρτεσιανές ή πολικές συνιστώσες για κάθε μία από τις τέσσερις μιγαδικές τιμές στον πίνακα 2 επί 2], η απόλυτη πληροφορία φάσης χάνεται στην [παραπάνω εξίσωση], οδηγώντας σε επτά μόνο ανεξάρτητα στοιχεία πίνακα για έναν πίνακα Μιούλερ που προέρχεται από έναν πίνακα Τζόουνς.

Πίνακες του Μιούλερ

Παρακάτω παρατίθενται οι πίνακες Μιούλερ για ορισμένα ιδανικά κοινά οπτικά στοιχεία:

Γενική έκφραση για την περιστροφή του πλαισίου αναφοράς από το τοπικό πλαίσιο στο εργαστηριακό πλαίσιο:

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos {(2\theta )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad$

όπου $\theta$ είναι η γωνία περιστροφής. Για περιστροφή από το εργαστηριακό πλαίσιο στο τοπικό πλαίσιο, το πρόσημο των ημιτονικών όρων αντιστρέφεται.

Γραμμικός πολωτής (οριζόντια μετάδοση)

${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Οι πίνακες Μιούλερ για άλλες γωνίες περιστροφής του πολωτή μπορούν να δημιουργηθούν με περιστροφή του πλαισίου αναφοράς.

Γραμμικός πολωτής (κάθετη μετάδοση)

${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Γραμμικός πολωτής (μετάδοση +45°)

${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Γραμμικός πολωτής (μετάδοση -45°)

${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Γενικός πίνακας γραμμικού πολωτή

${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad$

όπου $\theta$ είναι η γωνία περιστροφής του πολωτή.

Γενικός γραμμικός επιβραδυντής (οι υπολογισμοί της κυματοειδούς πλάκας γίνονται από αυτό)

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad$

όπου $\delta$ είναι η διαφορά φάσης μεταξύ του γρήγορου και του αργού άξονα και $\theta$ είναι η γωνία του γρήγορου άξονα.

Τέταρτος-επιβραδυντής (κατακόρυφος γρήγορος άξονας)

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

Τέταρτος-επιβραδυντής (γρήγορος άξονας οριζόντιος)

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}$

Μισός-επιβραδυντής (οριζόντιος και κατακόρυφος άξονας γρήγορου κύματος- επίσης, ιδανικό κάτοπτρο)

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

Φίλτρο εξασθένησης (25% μετάδοση)

${1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad$

Τένσορες Μιούλερ

Η αρχιτεκτονική Μιούλερ/Στόουκς μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή μη γραμμικών οπτικών διεργασιών, όπως ο φθορισμός με διέγερση πολλαπλών φωτονίων και η παραγωγή δεύτερης αρμονικής. Ο τανυστής Μιούλερ μπορεί να συνδεθεί με τον τανυστή Τζόουνς του εργαστηριακού πλαισίου μέσω άμεσης αναλογίας με τους πίνακες Μιούλερ και Τζόουνς.

$\mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}$,

όπου $M^{(2)}$ είναι ο τανυστής Μιούλερ τρίτου βαθμού που περιγράφει το διάνυσμα Στόουκς που παράγεται από ένα ζεύγος προσπίπτοντων διανυσμάτων Στόουκς και $\chi ^{(2)}$ είναι ο τανυστής Τζόουνς του εργαστηριακού πλαισίου 2×2×2.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Wilson, Robin (2018). Euler's Pioneering Equation: The Most Beautiful Theorem in Mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9. MR 3791469. 
• Damask, Jay N. (2004). Polarization Optics in Telecommunications. Springer. ISBN 0-387-22493-9. 
• Goldstein, Dennis· Dekker, Marcel (2003). Polarized Light (2nd έκδοση). Taylor & Francis. ISBN 0-8247-4053-X. 
• Karlsen, Leif (2003). Secrets of the Viking Navigators: How the Vikings used their amazing sunstones and other techniques to cross the open oceans. One Earth Press. 
• Können, G. P. (1985). Polarized Light in Nature. Μτφρ. Beerling, G. A. Cambridge University. ISBN 0-521-25862-6. 
• Pye, David (2001). Polarised Light in Science and Nature. Institute of Physics. ISBN 0-7503-0673-4. 
• Shurcliff, William A. (1962). Polarized Light, Production and Use. Harvard University. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Δέλτα του Κρόνεκερ
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ηλεκτρικό πεδίο
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Μετασχηματισμός Φουριέ
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Mathematical Methods For Physicists
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Polarized Light and Optical Systems
• Multimedia Content Representation, Classification and Security ...
• Birefringent Thin Films And Polarizing Elements

Παραπομπές

• Paley, R.E.A.C. (1933). «On orthogonal matrices». Journal of Mathematics and Physics 12: 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311. . 
• Magdy Tawfik Hanna; Nabila Philip Attalla Seif; Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). «Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices». IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245–2254. doi:10.1109/TCSI.2004.836850. 
• Shamgar Gurevich; Ronny Hadani (2009). «On the diagonalization of the discrete Fourier transform». Applied and Computational Harmonic Analysis 27 (1): 87–99. doi:10.1016/j.acha.2008.11.003. preprint at.