Μετάβαση στο περιεχόμενο

Πίνακας Γκραμ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στη γραμμική άλγεβρα, ο πίνακας Γκραμ[1]Γκραμιανός πίνακας, Γκραμιανός) ενός συνόλου διανυσμάτων σε ένα χώρο εσωτερικών γινομένων είναι ο ερμιτιανός πίνακας εσωτερικών γινομένων, του οποίου οι εγγραφές δίνονται από το εσωτερικό γινόμενο .[2]. Αν τα διανύσματα είναι οι στήλες του πίνακα τότε ο πίνακας Γκραμ είναι στη γενική περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι μιγαδικοί αριθμοί, ο οποίος απλοποιείται σε για την περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μια σημαντική εφαρμογή είναι ο υπολογισμός της γραμμικής ανεξαρτησίας[3]: ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα Γκραμ (η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ) είναι είναι διάφορη του μηδενός.

Για πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικά διανύσματα στο με το συνηθισμένο ευκλείδειο τετραγωνικό γινόμενο, ο πίνακας Γκραμ είναι , όπου είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα και είναι η αντιστροφή του, της οποίας οι γραμμές είναι τα διανύσματα . Για μιγαδικά διανύσματα στο , , όπου είναι η συζυγής μεταφορά του .

Με δεδομένες τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο διάστημα , ο πίνακας Γκραμ είναι:

όπου είναι η μιγαδικός συζυγής του .

Για οποιαδήποτε διγραμμική μορφή σε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από οποιοδήποτε σώμα μπορούμε να ορίσουμε έναν πίνακα Γκραμ που συνδέεται με ένα σύνολο διανυσμάτων με τη σχέση . Ο πίνακας θα είναι συμμετρικός αν η διγραμμική μορφή είναι συμμετρική.

  • Στη γεωμετρία του Ρίμαν, δεδομένης μιας ενσωματωμένης -διάστατης πολλαπλότητας του Ρίμαν και μιας παραμετροποίησης για , η μορφή όγκου στην που επάγεται από την ενσωμάτωση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την Γκραμιανή των εφαπτομενικών διανυσμάτων των συντεταγμένων:

Αυτό γενικεύει το κλασικό επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας παραμετροποιημένης επιφάνειας for

  • Αν τα διανύσματα είναι κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές, η Γκραμιανή είναι περίπου ανάλογη του πίνακα συνδιακύμανσης, με την κλιμάκωση να καθορίζεται από τον αριθμό των στοιχείων του διανύσματος.
  • Στην κβαντική χημεία, ο πίνακας Γκραμ ενός συνόλου διανυσμάτων βάσης είναι ο πίνακας επικάλυψης.
  • Στη θεωρία ελέγχου (ή γενικότερα στη θεωρία συστημάτων), η Γκράμιαν της δυνατότητας ελέγχου και η Γκράμιαν της δυνατότητας παρατήρησης καθορίζουν τις ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος.
  • Οι πίνακες Γκραμ προκύπτουν στην προσαρμογή μοντέλων δομής συνδιακύμανσης (βλέπε π.χ. Τζαμσίντιαν και Μπέντλερ, 1993, Εφαρμοσμένη Ψυχολογική Μέτρηση, τόμος 18, σελ. 79-94).
  • Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, ο πίνακας Γκραμ προκύπτει από την προσέγγιση μιας συνάρτησης από έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο- οι καταχωρήσεις του πίνακα Γκραμ είναι τότε τα εσωτερικά γινόμενα των συναρτήσεων βάσης του πεπερασμένης διάστασης υποχώρου.
  • Στη μηχανική μάθηση, οι συναρτήσεις πυρήνα συχνά αναπαρίστανται ως πίνακες Γκραμ[4] (βλέπε επίσης Κερνέλ PCA).
  • Επειδή ο πίνακας Γκραμ πάνω στους πραγματικούς είναι συμμετρικός πίνακας, είναι διαγωνοποιήσιμος και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικές. Η διαγωνοποίηση του πίνακα Γκραμ είναι η Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές.

Θετικός-θετικός ημιτελής

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πίνακας Γκραμ είναι συμμετρικός στην περίπτωση που το πραγματικό γινόμενο είναι πραγματικής αξίας- είναι ερμιτιανός στη γενική, μιγαδική περίπτωση λόγω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

Ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής και κάθε θετικός ημιτελής πίνακας είναι ο πίνακας Γκραμ για κάποιο σύνολο διανυσμάτων. Το γεγονός ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής μπορεί να φανεί από την ακόλουθη απλή παραγώγιση:

Η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων, η δεύτερη και η τρίτη από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου και η τελευταία από τη θετική οριστικότητα του εσωτερικού γινομένου. Ας σημειωθεί ότι αυτό δείχνει επίσης ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δηλαδή, για όλα τα ).[2]

Εύρεση μιας διανυσματικής υλοποίησης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου οποιουδήποτε θετικού ημιπεριορισμένου πίνακα , μπορεί κανείς να τον αναλύσει ως εξής:

,

όπου είναι η συζυγής μεταφορά του στην πραγματική περίπτωση).

Εδώ ο είναι ένας πίνακας, όπου είναι η τάξη του . Διάφοροι τρόποι για να ληφθεί μια τέτοια ανάλυση περιλαμβάνουν τον υπολογισμό της αποσύνθεσης Τσολέσκι ή τη λήψη της μη αρνητικής τετραγωνικής ρίζας του .

Οι στήλες του μπορούν να θεωρηθούν ως n διανύσματα στο (ή στον k -διάστατο Ευκλείδειο χώρο , στην πραγματική περίπτωση). Τότε

όπου το εσωτερικό γινόμενο είναι το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στο .

Έτσι, ένας ερμιτιανός πίνακας είναι θετικός ημιτελής αν και μόνο αν είναι ο πίνακας Γκραμ κάποιων διανυσμάτων . Τέτοια διανύσματα ονομάζονται διανυσματική υλοποίηση του . Το απειροδιάστατο ανάλογο αυτής της δήλωσης είναι το θεώρημα του Μερσέρ.

Μοναδικότητα των διανυσματικών υλοποιήσεων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν είναι ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων στο τότε η εφαρμογή οποιασδήποτε περιστροφής ή ανάκλασης του (οποιοσδήποτε ορθογώνιος μετασχηματισμός, δηλαδή οποιαδήποτε ευκλείδεια ισομετρία που διατηρεί το 0) στην ακολουθία των διανυσμάτων οδηγεί στον ίδιο πίνακα Γκραμ. Δηλαδή, για κάθε ορθογώνιο πίνακα , ο πίνακας Γκραμ του είναι επίσης .}

Αυτός είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίο δύο πραγματικές διανυσματικές υλοποιήσεις του μπορούν να διαφέρουν: τα διανύσματα είναι μοναδικά μέχρι ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Με άλλα λόγια, τα τετραγωνικά γινόμενα και είναι ίσα αν και μόνο αν κάποιος άκαμπτος μετασχηματισμός του μετασχηματίζει τα διανύσματα σε και 0 σε 0.

Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση των μιγαδικών, με μοναδιαίους μετασχηματισμούς στη θέση των ορθογώνιων. Δηλαδή, αν ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων είναι ίσος με τον πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων στο τότε υπάρχει ένας μοναδιαίος πίνακας (δηλαδή ) τέτοιος ώστε για .[5]

  • Επειδή , είναι απαραίτητο να ισχύει ότι και αντιμετατίθενται. Δηλαδή, ένας πραγματικός ή μιγαδικός πίνακας Γκραμ είναι επίσης ένας κανονικός πίνακας.
  • Ο πίνακας Γκραμ οποιασδήποτε ορθοκανονικής βάσης είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ισοδύναμα, ο πίνακας Gram των γραμμών ή των στηλών ενός πραγματικού πίνακα περιστροφής είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ομοίως, ο πίνακας Γκραμ των γραμμών ή των στηλών ενός μοναδιαίου πίνακα είναι ο πίνακας ταυτότητας.
  • Ο βαθμός του πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων στο ή ισούται με τη διάσταση του χώρου που καλύπτουν τα διανύσματα αυτά.[2]

H Ορίζουσα Γκραμ ή Γκραμιανή είναι η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ:

Αν είναι διανύσματα στο τότε είναι το τετράγωνο του n-διάστατου όγκου του παραλληλότοπου που σχηματίζεται από τα διανύσματα. Ειδικότερα, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν ο παραλληλότοπος έχει μη μηδενικό n-διάστατο όγκο, αν και μόνο αν η ορίζουσα Γκραμ είναι μη μηδενική, αν και μόνο αν ο πίνακας Γκραμ είναι μη-σημαδιακός. Όταν n' > m η ορίζουσα και ο όγκος είναι μηδέν. Όταν n = m, αυτό ανάγεται στο τυπικό θεώρημα ότι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας n n διαστάσεων διανυσμάτων είναι ο n διαστάσεων όγκος. Η ορίζουσα Γκραμ είναι επίσης χρήσιμος για τον υπολογισμό του όγκου του simplex (απλού) σχήματος που σχηματίζεται από τα διανύσματα- ο όγκος του είναι Όγκος(παραλληλότοπος) / n!}.

Η ορίζουσα Γκραμ μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ως εξής

Όταν τα διανύσματα ορίζονται από τις θέσεις των σημείων σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς ,

τότε η ορίζουσα Γκραμ μπορεί να γραφεί ως η διαφορά δύο ορίζουσες Γκραμ,

όπου κάθε είναι το αντίστοιχο σημείο συμπληρωμένο με την τιμή της συντεταγμένης 1 για μια διάσταση -st. Ας σημειωθεί ότι στην κοινή περίπτωση που n' = m, ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά θα είναι μηδέν.

Κατασκευή ορθοκανονικής βάσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου ενός συνόλου γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων με τον πίνακα Γκραμ που ορίζεται από τη σχέση , μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια ορθοκανονική βάση

Σε συμβολισμό πινάκων, , όπου το έχει ορθοκανονικά διανύσματα βάσης και ο πίνακας αποτελείται από τα συγκεκριμένα διανύσματα στήλης .

Ο πίνακας είναι εγγυημένα υπαρκτός. Πράγματι, ο είναι Ερμιτιανός και έτσι μπορεί να αναλυθεί ως με έναν μοναδιαίο πίνακα και έναν πραγματικό διαγώνιο πίνακα. Επιπλέον, οι είναι γραμμικά ανεξάρτητοι αν και μόνο αν ο είναι θετικά ορισμένος, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαγώνιες εγγραφές του είναι θετικές. Επομένως, η ορίζεται μοναδικά από τη σχέση . Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι αυτά τα νέα διανύσματα είναι ορθοκανονικά:

όπου χρησιμοποιείται .

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. «Gram matrix - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2024. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Horn & Johnson 2013, σελ. 441, p.441, Theorem 7.2.10
  3. «Linear independence - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2024. 
  4. Lanckriet, G. R. G.; Cristianini, N.; Bartlett, P.; Ghaoui, L. E.; Jordan, M. I. (2004). «Learning the kernel matrix with semidefinite programming». Journal of Machine Learning Research 5: 27–72 [p. 29]. https://dl.acm.org/citation.cfm?id=894170. 
  5. Horn & Johnson (2013), p. 452, Theorem 7.3.11