Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία

Η μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, και πιο συγκεκριμένα μια κατεύθυνση της μη αντιμεταθετικής γεωμετρίας, που μελετά τις γεωμετρικές ιδιότητες των τυπικών δυϊκών των μη αντιμεταθετικών αλγεβρικών αντικειμένων, όπως οι δακτύλιοι, καθώς και των γεωμετρικών αντικειμένων που προέρχονται από αυτά (π.χ. με συγκόλληση κατά μήκος των εντοπισμών ή με λήψη μη αντιμεταθετικών πηλίκων στοίβας).

Παραδείγματος χάριν, η μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία υποτίθεται ότι επεκτείνει την έννοια του αλγεβρικού σχήματος με τη συγκόλληση των φασμάτων των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων- ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο ο στόχος αυτός (και η έννοια του φάσματος) κατανοείται κυριολεκτικά και γενικά στο μη αντιμεταθετικό πλαίσιο, ο στόχος αυτός επιτεύχθηκε με περισσότερη ή λιγότερη επιτυχία. Ο μη αντιμεταθετικός δακτύλιος εδώ γενικεύει έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο κανονικών συναρτήσεων σε ένα αντιμεταθετικό σχήμα. Οι συναρτήσεις στους συνήθεις χώρους της παραδοσιακής (αντιμεταθετικής) αλγεβρικής γεωμετρίας έχουν ένα γινόμενο που ορίζεται από τον πολλαπλασιασμό σημείων- καθώς οι τιμές αυτών των συναρτήσεων αντιμετατίθενται, οι συναρτήσεις επίσης αντιμετατίθενται: a επί b ισούται με b επί a. Είναι αξιοσημείωτο ότι η θεώρηση των μη αντιμεταθετικών συναρτησιακών αλγεβρών ως αλγεβρών συναρτήσεων σε «μη αντιμεταθετικούς» χώρους είναι μια γεωμετρική διαίσθηση με μεγάλη εμβέλεια, αν και τυπικά μοιάζει με πλάνη.

Μεγάλο μέρος του κινήτρου για τη μη αντιμεταθετική γεωμετρία, και ειδικότερα για τη μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία, προέρχεται από τη φυσική, ιδίως την κβαντική φυσική, όπου οι άλγεβρες των παρατηρήσιμων μεγεθών θεωρούνται πράγματι μη αντιμεταθετικά ανάλογα των συναρτήσεων, και όπου είναι επομένως επιθυμητό να μπορούμε να παρατηρούμε τις γεωμετρικές πτυχές τους.

Μια από τις αξίες του πεδίου είναι ότι παρέχει επίσης νέες τεχνικές για τη μελέτη αντικειμένων της αντιμεταθετικής αλγεβρικής γεωμετρίας, όπως οι ομάδες Μπράουερ.

Οι μέθοδοι της μη αντιμεταθετικής αλγεβρικής γεωμετρίας είναι παρόμοιες με τις μεθόδους της αντιμεταθετικής αλγεβρικής γεωμετρίας, αλλά τα θεμέλια είναι συχνά διαφορετικά. Η τοπική συμπεριφορά στην αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία αποτυπώνεται από την αντιμεταθετική άλγεβρα και ειδικότερα από τη μελέτη των τοπικών δακτυλίων. Αυτοί δεν έχουν ανάλογο στη θεωρία δακτυλίων στο μη αντιμεταθετικό πλαίσιο- ωστόσο, σε μια κατηγορική διαμόρφωση, μπορούμε να μιλήσουμε για στοίβες τοπικών κατηγοριών οιονεί συνεκτικών δεματίων σε μη αντιμεταθετικά φάσματα. Καθολικές ιδιότητες, όπως αυτές που προέρχονται από την ομολογική άλγεβρα και την Κ-θεωρία, μεταφέρονται συχνότερα στο μη αντιμεταθετικό πλαίσιο.

Ιστορία

Κλασική προσέγγιση: το ζήτημα του μη αντιμεταθετικού εντοπισμού

Η αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία αρχίζει με την κατασκευή του φάσματος ενός δακτυλίου. Τα σημεία της αλγεβρικής ποικιλίας (ή γενικότερα του σχήματος) είναι τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου και οι συναρτήσεις στην αλγεβρική ποικιλία είναι τα στοιχεία του δακτυλίου. Ένας μη αντιμεταθετικός δακτύλιος, ωστόσο, μπορεί να μην έχει κανένα κατάλληλο μη μηδενικό αμφίπλευρο πρώτο ιδεώδες. Αυτό ισχύει για παράδειγμα στην άλγεβρα Γουέιλ των πολυωνυμικών διαφορικών τελεστών στον αφινικό χώρο: Η άλγεβρα Γουέιλ είναι ένας απλός δακτύλιος. Επομένως, μπορεί κανείς για παράδειγμα να προσπαθήσει να αντικαταστήσει ένα πρωτεύον φάσμα με ένα πρωταρχικό φάσμα: υπάρχουν επίσης η θεωρία του μη αντιμεταθετικού εντοπισμού καθώς και η θεωρία της καθόδου. Αυτό λειτουργεί σε κάποιο βαθμό: λόγου χάρη, οι άλγεβρες περιβάλλουσας του Ντιξμιέρ μπορούν να θεωρηθούν ως επεξεργασία της μη αντιμεταθετικής αλγεβρικής γεωμετρίας για το πρωταρχικό φάσμα μιας άλγεβρας περιβάλλουσας μιας άλγεβρας Lie. Μια άλλη εργασία σε παρόμοιο πνεύμα είναι οι σημειώσεις του Μικαέλ Αρτίν (Michael Artin) με τίτλο «μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι», οι οποίες εν μέρει αποτελούν μια προσπάθεια μελέτης της θεωρίας αναπαράστασης από μια μη αντιμεταθετική γεωμετρία. Η βασική διαπίστωση και στις δύο προσεγγίσεις είναι ότι οι μη αναγώγιμες παραστάσεις, ή τουλάχιστον τα πρωταρχικά ιδεώδη, μπορούν να θεωρηθούν ως «μη αντιμεταθετικά σημεία».

Σύγχρονη οπτική γωνία με χρήση κατηγοριών δεματίων

Όπως αποδείχτηκε, ξεκινώντας, θα λέγαμε, από τα πρωτόγονα φάσματα, δεν ήταν εύκολο να αναπτυχθεί μια λειτουργική θεωρία δεματίων. Θα μπορούσε κανείς να φανταστεί ότι αυτή η δυσκολία οφείλεται σε ένα είδος κβαντικού φαινομένου: τα σημεία ενός χώρου μπορούν να επηρεάσουν σημεία που βρίσκονται πολύ μακριά (και στην πραγματικότητα, δεν είναι σκόπιμο να αντιμετωπίζουμε τα σημεία μεμονωμένα και να θεωρούμε έναν χώρο ως μια απλή συλλογή των σημείων).

Λόγω των ανωτέρω, δέχεται κανείς ένα παράδειγμα που εμπεριέχεται στη θέση του Πιερ Γκαμπριέλ και δικαιολογείται εν μέρει από το θεώρημα ανακατασκευής Γκαμπριέλ-Ρόζενμπεργκ (μετά τους Πιερ Γκαμπριέλ και Αλεξάντερ Λ. Ρόζενμπεργκ) ότι ένα αντιμεταθετικό σχήμα μπορεί να ανακατασκευαστεί, μέχρι ισομορφισμού των σχημάτων, αποκλειστικά από την αβελιανή κατηγορία των οιονεί συνεκτικών δεματίων στο σχήμα. Ο Αλεξάντερ Γκροτέντικ δίδαξε ότι για να κάνει κανείς γεωμετρία δεν χρειάζεται έναν χώρο, αρκεί να έχει μια κατηγορία δεματίων σε αυτόν τον χώρο - η ιδέα αυτή μεταφέρθηκε στη μη αντιμεταθετική άλγεβρα από τον Γιούρι Μάνιν. Υπάρχουν, λίγο πιο αδύναμα, θεωρήματα ανακατασκευής από τις παράγωγες κατηγορίες (οιονεί) συνεκτικών δεματίων που παρακινούν την παράγωγη μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία (βλ. ακριβώς παρακάτω).

Παράγωγη αλγεβρική γεωμετρία

Ίσως η πιο πρόσφατη προσέγγιση είναι μέσω της θεωρίας της παραμόρφωσης, τοποθετώντας τη μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία στη σφαίρα της παράγωγης αλγεβρικής γεωμετρίας.

Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη μονοδιάστατη άλγεβρα του Γουέιλ πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς C'. Αυτή είναι το πηλίκο του ελεύθερου δακτυλίου C'<x, y> με τη σχέση

xy - yx = 1.

Αυτός ο δακτύλιος αντιπροσωπεύει τους πολυωνυμικούς διαφορικούς τελεστές σε μία μόνο μεταβλητή x- το y αντιπροσωπεύει τον διαφορικό τελεστή ∂_x. Ο δακτύλιος αυτός εντάσσεται σε μια μονοπαραμετρική οικογένεια που δίνεται από τις σχέσεις xy - yx = α. Όταν το α δεν είναι μηδέν, τότε η σχέση αυτή καθορίζει έναν δακτύλιο ισομορφικό προς την άλγεβρα Γουέιλ. Όταν όμως το α είναι μηδέν, η σχέση είναι η σχέση αντιμεταθετικότητας για τα x και y και ο προκύπτων πηλίκο δακτύλιος είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος σε δύο μεταβλητές, C[x, y]. Γεωμετρικά, ο πολυωνυμικός δακτύλιος σε δύο μεταβλητές αναπαριστά τον δισδιάστατο αφινικό χώρο A², οπότε η ύπαρξη αυτής της μονοπαραμετρικής οικογένειας λέει ότι ο αφινικός χώρος δέχεται μη αντιμεταθετικές παραμορφώσεις στο χώρο που καθορίζεται από την άλγεβρα Γουέιλ. Αυτή η παραμόρφωση σχετίζεται με το σύμβολο ενός διαφορικού τελεστή και ότι ο A² είναι η συνεφαπτομένη δέσμη της αφινικής γραμμής. (Η μελέτη της άλγεβρας Γουέιλ μπορεί να οδηγήσει σε πληροφορίες σχετικά με τον αφινικό χώρο: Η εικασία Ντίξμιερ για την άλγεβρα του Γουέιλ είναι ισοδύναμη με την ιακωβιανή εικασία για τον αφινικό χώρο).

Σε αυτή τη γραμμή της προσέγγισης, η έννοια του operad, ενός συνόλου ή χώρου πράξεων, αποκτά εξέχουσα σημασία: στην εισαγωγή του (Φρανσίς 2008), ο Φρανσίς γράφει:

Ξεκινάμε τη μελέτη ορισμένων λιγότερο αντιμεταθετικών αλγεβρικών γεωμετριών. ... η αλγεβρική γεωμετρία πάνω από ${\mathcal {E}}_{n}$-δακτυλίους μπορεί να θεωρηθεί ως παρεμβολή μεταξύ κάποιων παράγωγων θεωριών μη αντιμεταθετικής και αντιμεταθετικής αλγεβρικής γεωμετρίας. Καθώς το n αυξάνεται, αυτές οι ${\mathcal {E}}_{n}$-άλγεβρες συγκλίνουν στην παράγωγη αλγεβρική γεωμετρία των Τόεν-Βεζόζι και Λούρι.

Proj ενός μη αντιμεταθετικού δακτυλίου

Μία από τις βασικές κατασκευές στην αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία είναι η κατασκευή Proj ενός βαθμωτού αντιμεταθετικού δακτυλίου. Αυτή η κατασκευή κατασκευάζει μια προβολική αλγεβρική ποικιλία μαζί με μια πολύ πλούσια δέσμη γραμμών της οποίας ο ομογενής δακτύλιος συντεταγμένων είναι ο αρχικός δακτύλιος. Η οικοδόμηση του υποκείμενου τοπολογικού χώρου της ποικιλίας απαιτεί εντοπισμό του δακτυλίου, αλλά η οικοδόμηση δεματίων σε αυτόν τον χώρο δεν απαιτεί. Σύμφωνα με ένα θεώρημα του Ζαν-Πιερ Σερ, οι οιονεί συνεκτικές δέσμες στο Proj ενός βαθμωτού δακτυλίου είναι ίδιες με τις βαθμωτές ενότητες πάνω στο δακτύλιο μέχρι πεπερασμένης διάστασης παράγοντες. Η φιλοσοφία της θεωρίας τόπων που προωθείται από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ αναφέρει ότι η κατηγορία των δεματίων σε έναν χώρο μπορεί να χρησιμεύσει ως ο ίδιος ο χώρος. Κατά συνέπεια, στη μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία συχνά ορίζεται το Proj με τον ακόλουθο τρόπο: Έστω R μια βαθμωτή C-άλγεβρα, και έστω Mod-R που υποδηλώνει την κατηγορία των βαθμωτών δεξιών R-μονάδων. Έστω F η υποκατηγορία της Mod-R που αποτελείται από όλες τις ενότητες πεπερασμένου μήκους. Η Proj R ορίζεται ως το πηλίκο της αβελιανής κατηγορίας Mod-R με την F. Ισοδύναμα, είναι μια τοπικοποίηση της Mod-R στην οποία δύο ενότητες γίνονται ισόμορφες αν, μετά τη λήψη των άμεσων αθροισμάτων τους με κατάλληλα επιλεγμένα αντικείμενα της F, είναι ισόμορφες στην Mod-R.

Η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε μια θεωρία της μη αντιμεταθετικής προβολικής γεωμετρίας. Μια μη αντιμεταθετική ομαλή προβολική καμπύλη αποδεικνύεται ότι είναι μια ομαλή αντιμεταθετική καμπύλη, αλλά για ιδιάζουσες καμπύλες ή ομαλούς χώρους υψηλότερων διαστάσεων, η μη αντιμεταθετική ρύθμιση επιτρέπει νέα αντικείμενα.

Δημοσιεύσεις

• M. Artin, J. J. Zhang, Noncommutative projective schemes, Advances in Mathematics 109 (1994), no. 2, 228–287, doi.
• Yuri I. Manin, Quantum groups and non-commutative geometry, CRM, Montreal 1988.
• Yuri I Manin, Topics in noncommutative geometry, 176 pp. Princeton 1991.
• A. Bondal, M. van den Bergh, Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry, Moscow Mathematical Journal 3 (2003), no. 1, 1–36.
• A. Bondal, D. Orlov, Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences, Compositio Mathematica 125 (2001), 327–344 doi
• John Francis, Derived Algebraic Geometry Over ${\mathcal {E}}_{n}$-Rings
• O. A. Laudal, Noncommutative algebraic geometry, Rev. Mat. Iberoamericana 19, n. 2 (2003), 509--580; euclid.
• Fred Van Oystaeyen, Alain Verschoren, Non-commutative algebraic geometry, Springer Lect. Notes in Math. 887, 1981.
• Fred van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras, Marcel Dekker 2000. vi+287 pp.
• A. L. Rosenberg, Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras, MIA 330, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xii+315 pp. ISBN 0-7923-3575-9
• M. Kontsevich, A. Rosenberg, Noncommutative smooth spaces, The Gelfand Mathematical Seminars, 1996--1999, 85--108, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser, Boston 2000; arXiv:math/9812158
• A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, dvi, ps; MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces (Feb 2000): video
• Pierre Gabriel, Des catégories abéliennes, Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962), p. 323-448, numdam
• Zoran Škoda, Some equivariant constructions in noncommutative algebraic geometry, Georgian Mathematical Journal 16 (2009), No. 1, 183--202, arXiv:0811.4770.
• Dmitri Orlov, Quasi-coherent sheaves in commutative and non-commutative geometry, Izv. RAN. Ser. Mat., 2003, vol. 67, issue 3, 119–138 (MPI preprint version dvi, ps)
• M. Kapranov, Noncommutative geometry based on commutator expansions, Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 (1998), 73-118, math.AG/9802041.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Αλγόριθμος Μπούχμπεργκερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Tomasz Maszczyk, Noncommutative geometry through monoidal categories, math.QA/0611806
• S. Mahanta, On some approaches towards non-commutative algebraic geometry, math.QA/0501166
• Ludmil Katzarkov, Maxim Kontsevich, Tony Pantev, Hodge theoretic aspects of mirror symmetry, arxiv/0806.0107
• Dmitri Kaledin, Tokyo lectures "Homological methods in non-commutative geometry", pdf, TeX; and (similar but different) Seoul lectures