Κλασματικό μέρος

Το κλασματικό μέρος ενός μη αρνητικού πραγματικού αριθμού $x$ είναι ένας ορισμός πέρα από το ακέραιο μέρος αυτού του αριθμού. Εάν το ακέραιο μέρος ενός αριθμού ορίζεται να είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει το x, που ονομάζεται επίσης και συνάρτηση δαπέδου του x ή $\lfloor x\rfloor$, το κλασματικό του μέρος μπορεί να γραφτεί ως:

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0$.

Για έναν θετικό αριθμό που γράφεται σε ένα συμβατικό θεσιακό σύστημα αρίθμησης (όπως το δυαδικό ή το δεκαδικό), το κλασματικό του μέρος αντιστοιχεί στα ψηφία που εμφανίζονται μετά το δεκαδικό διαχωριστικό. Το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0, 1).

Για αρνητικούς αριθμούς

Ωστόσο, στην περίπτωση των αρνητικών αριθμών, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να επεκταθεί η συνάρτηση κλασματικού μέρους και σε αυτούς: είτε ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και με τους θετικούς αριθμούς, δηλ. $\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$, ή με την απόλυτη τιμή του αριθμού, δηλαδή$\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$, ή με την περιττή συνάρτηση:

$\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}},$

όπου $\lceil x\rceil$ είναι ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το x, που ονομάζεται επίσης και συνάρτηση οροφής του x. Κατά συνέπεια, μπορούμε να πάρουμε, για παράδειγμα, τρεις διαφορετικές τιμές για το κλασματικό μέρος μιας μόνο τιμής του x: έστω π.χ. ο αριθμός −1,3. Το κλασματικό του μέρος είναι 0,7 σύμφωνα με τον πρώτο ορισμό, 0,3 σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό και −0,3 σύμφωνα με τον τρίτο ορισμό, το αποτέλεσμα του οποίου μπορεί επίσης να ληφθεί με απλό τρόπο από τον τύπο:

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$.

Ο αριθμός $x-\lfloor x\rfloor$ και οι ορισμοί της "περιττής συνάρτησης" επιτρέπουν οποιαδήποτε αποσύνθεση ενός πραγματικού αριθμού x στο άθροισμα των ακέραιων και των κλασματικών μερών του, όπου το "ακέραιο μέρος" αναφέρεται στον αριθμό $\lfloor x\rfloor$ ή $\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$.

Το κλασματικό μέρος συνήθως συμβολίζεται και με άγκιστρα:

$\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .$

Σχέση με συνεχή κλάσματα

Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως ένα συνεχές κλάσμα, δηλαδή ως το άθροισμα του ακέραιου μέρους του και του αντιστρόφου του κλασματικού του μέρους, το οποίο με τη σειρά του γράφεται ως το άθροισμα του ακέραιου μέρους του και του αντιστρόφου του κλασματικού του μέρους, και ούτω καθεξής.