Κισσοειδές του Διοκλή

Το κισσοειδές του Διοκλή

Το Κισσοειδές του Διοκλή είναι μία συγκεκριμένη καμπύλη της γεωμετρίας, της οποίας η μελέτη αποδίδεται στον Διοκλή το 100 π.Χ.. Ο Διοκλής προσπαθούσε εκείνη την εποχή να λύσει το πρόβλημα της Δήλου, όπως αναφέρει ο Πρόκλος στα σχόλιά του περί του Ευκλείδη. Το όνομα της καμπύλης προέρχεται από το σχήμα της που μοιάζει με φύλλο κισσού.

Ιδιότητες του κισσοειδούς

Τα σημεία της καμπύλης έχουν την εξής ιδιότητα:

Έχουμε έναν κύκλο με ακτίνα a, ένα σημείο S του κύκλου και μια εφαπτομένη που εφάπτεται στο σημείο διαμετρικά του σημείου S. Για κάθε σημείο P του κισσοειδούς, τα κοινά σημεία της ευθείας SP και του κύκλου τα ονομάζουμε K και τα κοινά σημεία της ευθείας SP με την εφαπτομένη τα ονομάζουμε A.

• Τότε τα δύο τμήματα ${\overline {SP}}$ και ${\overline {KA}}$ έχουν το ίδιο μήκος.
• Η ευθεία που έχει την εξίσωση $x\,=2a$ είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης.
• Το εμβαδόν που περιέχεται μεταξύ της καμπύλης και της ασύμπτωτης έχει μέγεθος $3\,\pi a^{2}$.

Εξίσωση του κισσοειδούς

Η καμπύλη εκφράζεται με τις εξής εξισώσεις:

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες:	$y^{2}\,(2a-x)-x^{3}=0$
Παραμετρική εξίσωση:	$x={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}};\qquad y={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}$
Σε πολικές συντεταγμένες:	$t=\tan \varphi ;\qquad r=2a\sin \varphi \tan \varphi$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Xah Lee's page on the cissoid of Diocles
• MacTutor page on the cissoid of Diocles
• Mathcurve (in French but clearly illustrates several constructions)
• Η κισσοειδής βρίσκεται στη σελίδα 7