Κισσοειδές του Διοκλή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Zissoide.png

Το Κισσοειδές του Διοκλή είναι μία συγκεκριμένη καμπύλη της γεωμετρίας, της οποίας η μελέτη αποδίδεται στον Διοκλή το 100 π.Χ.. Ο Διοκλής προσπαθούσε εκείνη την εποχή να λύσει το πρόβλημα της Δήλου, όπως αναφέρει ο Πρόκλος στα σχόλιά του περί του Ευκλείδη. Το όνομα της καμπύλης προέρχεται από το σχήμα της που μοιάζει με φύλλο κισσού.

Ιδιότητες του κισσοειδούς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα σημεία της καμπύλης έχουν την εξής ιδιότητα:

Έχουμε έναν κύκλο με ακτίνα a, ένα σημείο S του κύκλου και μια εφαπτομένη που εφάπτεται στο σημείο διαμετρικά του σημείου S. Για κάθε σημείο P του κισσοειδούς, τα κοινά σημεία της ευθείας SP και του κύκλου τα ονομάζουμε K και τα κοινά σημεία της ευθείας SP με την εφαπτομένη τα ονομάζουμε A.

  • Τότε τα δύο τμήματα \overline{SP} και \overline{KA} έχουν το ίδιο μήκος.
  • Η ευθεία που έχει την εξίσωση x \, = 2 a είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης.
  • Το εμβαδόν που περιέχεται μεταξύ της καμπύλης και της ασύμπτωτης έχει μέγεθος 3 \, \pi a^2.

Εξίσωση του κισσοειδούς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η καμπύλη εκφράζεται με τις εξής εξισώσεις:

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες: y^2 \, (2 a - x) - x^3 = 0
Παραμετρική εξίσωση: x = \frac{2 a t^2}{1 + t^2}; \qquad y = \frac{2 a t^3}{1 + t^2}
Σε πολικές συντεταγμένες: t = \tan\varphi;\qquad r = 2 a \sin\varphi \tan\varphi

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Zissoide της Γερμανικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).