Θεώρημα πεταλούδας

θεώρημα της πεταλούδας

Για το «λήμμα της πεταλούδας» της θεωρίας ομάδων, βλ. Λήμμα Ζάσενχαους

Το θεώρημα της πεταλούδας είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, το οποίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Έστω M το μέσο μιας χορδής PQ ενός κύκλου, από την οποία διέρχονται δύο άλλες χορδές AB και CD, AD και BC τέμνουν τη χορδή PQ στα X και Y αντίστοιχα. Τότε M είναι το μέσο της XY.

Απόδειξη

Απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας

Η τυπική απόδειξη του θεωρήματος έχει ως εξής: Έστω ότι οι κάθετες XX′ και XX″ πέφτουν από το σημείο X στις ευθείες

AM και DM αντίστοιχα. Ομοίως, έστω YY′ και YY″ να πέφτουν από το σημείο Y κάθετα στις ευθείες BM και CM αντίστοιχα.

Δεδομένου ότι το

$\triangle MXX'\sim \triangle MYY',$

${MX \over MY}={XX' \over YY'},$

$\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',$

${MX \over MY}={XX'' \over YY''},$

$\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',$

${XX' \over YY''}={AX \over CY},$

$\triangle DXX''\sim \triangle BYY',$

${XX'' \over YY'}={DX \over BY}.$

Από τις προηγούμενες εξισώσεις και το θεώρημα των χορδών τομής προκύπτει ότι

$\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},$

${}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},$

${}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},$

${}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},$

${}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},$

από το PM = MQ.

Οπότε,

${(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.$

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί την τελευταία εξίσωση,

${(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.$

Ακύρωση του κοινού όρου

${-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}$

και από τις δύο πλευρές της προκύπτουσας εξίσωσης δίνει

${(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},$

ως εκ τούτου MX = MY, δεδομένου ότι οι MX, MY και PM είναι όλοι θετικοί, πραγματικοί αριθμοί.

Έτσι, M είναι το μέσο του XY.

Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένου ενός που χρησιμοποιεί προβολική γεωμετρία.

Ιστορία

Η απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας τέθηκε ως πρόβλημα από τον Γουίλιαμ Γουάλας στο The Gentleman's Mathematical Companion (Ο μαθηματικός σύντροφος του τζέντλεμαν) (1803). Τρεις λύσεις δημοσιεύθηκαν το 1804 και το 1805 ο Σερ Γουίλιαμ Χέρσελ έθεσε ξανά το ερώτημα σε επιστολή του προς τον Γουάλας. Ο αιδεσιμότατος Τόμας Σκερ έθεσε ξανά το ίδιο ερώτημα το 1814 στο Gentleman's Diary or Mathematical Repository (Ημερολόγιο τζέντλεμαν ή Μαθηματικό Αποθετήριο).

Δημοσιεύσεις

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

• Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

• Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62. 

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3. 

• Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246. 
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2022. 
• Berlinski, David (2011). A Tour of the Calculus. Knopf Doubleday Publishing Group. ISBN 9780307789730. 
• Brannan, David A.· Esplen, Matthew F.· Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59787-6. 
• Burton, David M. (2011). The History of Mathematics/An Introduction (7th έκδοση). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338315-6. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Παραλληλόγραμμο
• Κύκλος
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra..
• Characters of Groups and Lattices over Orders: From Ordinary to Integral ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Paul Glaister: Intersecting Chords Theorem: 30 Years on. Mathematics in School, Vol. 36, No. 1 (Jan., 2007), p. 22 (JSTOR)
• Bruce Shawyer: Explorations in Geometry. World scientific, 2010, ISBN 9789813100947, p. 14
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306