Εφαπτόμενος κώνος

Στη γεωμετρία, ο εφαπτόμενος κώνος^[1] ή κανονικός κώνος ενός υποσυνόλου του ευκλείδειου χώρου είναι μια γενίκευση της έννοιας του εφαπτόμενου χώρου ή του κανονικού διανύσματος ενός συνόλου και επιτρέπει έτσι την εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων σε μη διαφοροποιήσιμα γεωμετρικά αντικείμενα. Τόσο ο εφαπτόμενος κώνος όσο και ο κανονικός κώνος είναι κώνοι με την έννοια της γραμμικής άλγεβρας, γεγονός που δικαιολογεί την ονομασία τους. Ο κανονικός κώνος είναι επίσης γνωστός ως πολικός κώνος. Η πρώτη ενοποιημένη εκδοχή του όρου εφαπτόμενος κώνος προέρχεται από τον Αμερικανό τοπολόγο Χάσλερ Γουίτνεϊ το 1965, αν και αυτή περιέγραφε την άκρη του κώνου με τη σύγχρονη έννοια^[2]. οι σύγχρονοι ορισμοί αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο της θεωρίας των συνόλων θετικού εύρους και συμπλήρωσαν το πρόγραμμά της, προκειμένου να είναι σε θέση να μεταφέρουν τα ευρήματα της διαφορικής γεωμετρίας σε μια μεγαλύτερη κατηγορία συνόλων - εκτός από τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες^[3].

Ορισμοί στη μη γραμμική ανάλυση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη μη γραμμική ανάλυση, υπάρχουν πολλοί ορισμοί για έναν εφαπτόμενο κώνο, όπως ο παρακείμενος κώνος, ο ενδεχόμενος κώνος του Μπουλιγκάν και ο εφαπτόμενος κώνος του Κλαρκ. Αυτοί οι τρεις κώνοι συμπίπτουν για ένα κυρτό σύνολο, αλλά μπορεί να διαφέρουν σε πιο γενικά σύνολα.

Ο εφαπτόμενος κώνος Κλαρκ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $A$ ένα μη κενό κλειστό υποσύνολο του χώρου Μπάναχ $X$ . Ο εφαπτόμενος κώνος Κλαρκ στον $A$ στο $x_{0}\in A$ , που συμβολίζεται με ${\widehat {T}}_{A}(x_{0})$ αποτελείται από όλα τα διανύσματα $v\in X$ , έτσι ώστε για κάθε ακολουθία $\{t_{n}\}_{n\geq 1}\subset \mathbb {R}$ να τείνει στο μηδέν, και κάθε ακολουθία $\{x_{n}\}_{n\geq 1}\subset A$ που τείνει στο $x_{0}$ , υπάρχει μια ακολουθία $\{v_{n}\}_{n\geq 1}\subset X$ που τείνει στο $v$ , έτσι ώστε για όλα τα $n\geq 1$ ισχύει $x_{n}+t_{n}v_{n}\in A$

Ο εφαπτόμενος κώνος του Κλαρκ είναι πάντα υποσύνολο του αντίστοιχου ενδεχομένου κώνου (και συμπίπτει με αυτόν, όταν το εν λόγω σύνολο είναι κυρτό). Έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι ένας κλειστός κυρτός κώνος.

Ορισμός στην κυρτή γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω Κ ένα κλειστό κυρτό υποσύνολο ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου V και ∂K το όριο του Κ. Ο στερεός εφαπτόμενος κώνος του Κ σε ένα σημείο x ∈ ∂Kείναι το κλείσιμο του κώνου που σχηματίζεται από όλες τις ημιευθείες (ή ακτίνες) που ξεκινούν από τοx και τέμνουν τον Κ σε ένα τουλάχιστον σημείο y διαφορετικό από το x. Είναι ένας κυρτός κώνος στο V και μπορεί επίσης να οριστεί ως η τομή των κλειστών ημιχώρων του V που περιέχουν το K και οριοθετούνται από τα υπερεπίπεδα στήριξης του K στο x. Το όριο T_K του στερεού εφαπτόμενου κώνου είναι ο εφαπτόμενος κώνος στο K και το ∂K στο x. Αν αυτός είναι ένας αφινικός υποχώρος του V τότε το σημείο x ονομάζεται λείο σημείο του ∂K και το ∂K λέγεται διαφορίσιμο στοx και ο T_K είναι ο συνήθης εφαπτόμενος χώρος του ∂K στο x.^[4]

Ορισμός στην αλγεβρική γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω X μια αφινική αλγεβρική ποικιλία ενσωματωμένη στον αφινικό χώρο $k^{n}$ , με καθοριστικό ιδεώδες $I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ . Για οποιοδήποτε πολυώνυμο f, έστω in $\operatorname {in} (f)$ η ομογενής συνιστώσα του f με τον μικρότερο βαθμό, ο αρχικός όρος του f, και έστω

\operatorname {in} (I)\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]

να είναι το ομογενές ιδεώδες που σχηματίζεται από τους αρχικούς όρους στο $\operatorname {in} (f)$ για όλα τα $f\in I$ , το αρχικό ιδεώδες του I. Ο εφαπτόμενος κώνος στο X στην αρχή είναι το κλειστό υποσύνολο Ζαρίσκι του $k^{n}$ που ορίζεται από το ιδεώδες στο $\operatorname {in} (I)$ . Μετατοπίζοντας το σύστημα συντεταγμένων, ο ορισμός αυτός επεκτείνεται σε ένα αυθαίρετο σημείο του $k^{n}$ στη θέση της αρχής. Ο εφαπτόμενος κώνος χρησιμεύει ως επέκταση της έννοιας του εφαπτόμενου χώρου στο X σε ένα κανονικό σημείο, όπου το X μοιάζει περισσότερο με μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα, σε όλο το X. (Ο εφαπτόμενος κώνος σε ένα σημείο του $k^{n}$ που δεν περιέχεται στο X είναι κενός).

Παραδείγματος χάριν, η κομβική καμπύλη

C:y^{2}=x^{3}+x^{2}

είναι ιδιάζουσα στην αρχή, επειδή και οι δύο επιμέρους παράγωγοι της f(x, y) = y² − x³ − x² εκλείπουν στο (0, 0). Έτσι, ο εφαπτόμενος χώρος Ζαρίσκι στην C στην αρχή είναι ολόκληρο το επίπεδο και έχει μεγαλύτερη διάσταση από την ίδια την καμπύλη (δύο έναντι μίας). Από την άλλη πλευρά, ο εφαπτόμενος κώνος είναι η ένωση των εφαπτόμενων γραμμών στους δύο κλάδους της C στην αρχή,

x=y,\quad x=-y.

Το καθοριστικό ιδεώδες του είναι το κύριο ιδεώδες του k[x] που δημιουργείται από τον αρχικό όρο της f, δηλαδή y² − x² = 0.

Ο ορισμός του εφαπτόμενου κώνου μπορεί να επεκταθεί σε αφηρημένες αλγεβρικές ποικιλίες, ακόμη και σε γενικά Ναιτεριανά σχήματα. Έστω X μια αλγεβρική ποικιλία, x ένα σημείο του X και (OX,x, m) ο τοπικός δακτύλιος του X στο x. Τότε ο εφαπτόμενος κώνος του X στο x είναι το φάσμα του σχετικού βαθμωτού δακτυλίου του O_X,x ως προς το m-adic φίλτρο:

\operatorname {gr} _{m}O_{X,x}=\bigoplus _{i\geq 0}m^{i}/m^{i+1}.

Αν κοιτάξουμε το προηγούμενο παράδειγμά μας, τότε μπορούμε να δούμε ότι τα διαβαθμισμένα τεμάχια περιέχουν τις ίδιες πληροφορίες. Άρα έστω

({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3}-x^{2})}}\right)_{(x,y)},(x,y)\right)

τότε αν επεκτείνουμε τον σχετικό βαθμωτό δακτύλιο

{\begin{aligned}\operatorname {gr} _{m}O_{X,x}&={\frac {{\mathcal {O}}_{X,x}}{(x,y)}}\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \\&=k\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \end{aligned}}

μπορούμε να δούμε ότι το πολυώνυμο που ορίζει την ποικιλία μας

y^{2}-x^{3}-x^{2}\equiv y^{2}-x^{2}

in

{\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τόσο ο εφαπτόμενος όσο και ο κανονικός κώνος είναι κλειστοί κώνοι.^[5]
Επιπλέον, ο κανονικός κώνος είναι πάντα κυρτός.
Μεταξύ των κώνων ισχύει η σχέση $\operatorname {pol} \ \operatorname {Nor} (A;a)\supseteq \operatorname {Tan} (A;a)$ .
Αν $A$ $A$ έχει θετικό εύρος, τότε ακόμη και $\operatorname {pol} \ \operatorname {Nor} (A;a)=\operatorname {Tan} (A;a)$ $\operatorname {pol} \ \operatorname {Nor} (A;a)=\operatorname {Tan} (A;a)$ .
- Ειδικότερα, το $\operatorname {Tan} (A;a)$ πρέπει επίσης να είναι κυρτή.
- Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι το $\operatorname {nor} A$ είναι κλειστό στο $\mathbb {R} ^{2n}$ σε αυτή την περίπτωση.
Αν $a\in A^{\circ }$ είναι ένα εσωτερικό σημείο, οι δύο κώνοι εκφυλίζονται σε $\operatorname {Tan} (A;a)=\mathbb {R} ^{n}$ και $\operatorname {Nor} (A;a)=\{\{{\underline {0}}\}$
Αντίστροφα, αν $a\in \mathbb {R} ^{n}\setminus {\overline {A}}$ von $A$ διαχωρίζεται από $A$ , τότε ισχύει το αντίστροφο: $\operatorname {Tan} (A;a)=\{{\underline {0}}\}$ και $\operatorname {Nor} (A;a)=\mathbb {R} ^{n}$
Στον τομέα της βελτιστοποίησης, οι εφαπτόμενοι κώνοι χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή κριτηρίων βελτιστότητας. Ωστόσο, συνήθως

χρησιμοποιείται ο γραμμικοποιημένος εφαπτόμενος κώνος, καθώς είναι ευκολότερος στο χειρισμό του.

Σημείωση: Επομένως, ορισμένοι συγγραφείς περιορίζουν τον ορισμό εξαρχής στα σημεία του κλεισίματος $a\in {\overline {A}}$ .^[6]

Αν το όριο του εφαπτόμενου κώνου σχηματίζει έναν υποδιανυσματικό χώρο στον $\mathbb {R} ^{n}$ –στην περίπτωση αυτή το $a$ βρίσκεται αναγκαστικά στο όριο Rand $\partial A$ – τότε το $A$ είναι διαφορίσιμο στο σημείο $a$ και το $\partial \operatorname {Tan} (A;a)$ συμπίπτει με τον κλασικό εφαπτόμενο χώρο

Εάν το $\partial \operatorname {Tan} (A;a)$ είναι ζυγό υπερεπίπεδο, δηλαδή συνδιάστασης 1, τότε το $\operatorname {Nor} (A;a)$ παράγεται από το αντίστοιχο κανονικό διάνυσμα.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

J. F. Bonnans et A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, New York, Springer, 2000 (On line archive)
J.-B. Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, EDP Sciences, 2009 (1re éd. 1998, PUF) (On line archive)
J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, vol. 1, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 305), 1993 (On line archive), p. 133-142
J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1re éd. 2001 [archive]) (On line archive)
Johannes Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, 2007, 3e éd. (1re éd. 1994), chap. 4 (« Tangent Cones »), p. 79-104
Akhtar A. Khan, Christiane Tammer et Constantin Zălinescu, Set-valued Optimization: An Introduction with Applications, Springer, 2015 (On line archive)
R. T. Rockafellar, « Lagrange Multipliers and Optimality », SIAM Review, vol. 35,‎ 1993, p. 183-238 (On line archive)

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Revisiting derived crystalline cohomology
Crystalline Cohomology of Superschemes
Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Tangent cone", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Algebraic Geometry: A First Course
Fundamentals of Convex Analysis

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Jahn, Johannes, επιμ. (2007). Tangent Cones. Berlin, Heidelberg: Springer. σελίδες 79–104. ISBN 978-3-540-49379-2.
↑ SpringerLink (Online service) (1992). Eells, James, επιμ. «Hassler Whitney Collected Papers». Springer eBooks. Contemporary Mathematicians. doi:10.1007/978-1-4612-2972-8. https://ezaccess.libraries.psu.edu/login?url=http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-2972-8.
↑ «Current volume - 3 (2008)». www.kurims.kyoto-u.ac.jp. Ανακτήθηκε στις 31 Μαΐου 2024.
↑ «Lipschitz normally embedded set and tangent cones at infinity».
↑ Burago, Dmitri· Burago, Yuri (27 Ιανουαρίου 2022). A Course in Metric Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6853-8.
↑ R. Tyrrell Rockafellar: Clarke's tangent cones and the boundaries of closed sets in $\mathbb {R} ^{n}$ ; in: Nonlinear Analysis, Theory, Methods, and Applications Vol. 3, 145–154, 1979; zitiert nach: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01552475/document, aufgerufen am 23. Juni 2022

[1] Jahn, Johannes, επιμ. (2007). Tangent Cones. Berlin, Heidelberg: Springer. σελίδες 79–104. ISBN 978-3-540-49379-2.

[2] SpringerLink (Online service) (1992). Eells, James, επιμ. «Hassler Whitney Collected Papers». Springer eBooks. Contemporary Mathematicians. doi:10.1007/978-1-4612-2972-8. https://ezaccess.libraries.psu.edu/login?url=http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-2972-8.

[3] «Current volume - 3 (2008)». www.kurims.kyoto-u.ac.jp. Ανακτήθηκε στις 31 Μαΐου 2024.

[4] «Lipschitz normally embedded set and tangent cones at infinity».

[5] Burago, Dmitri· Burago, Yuri (27 Ιανουαρίου 2022). A Course in Metric Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6853-8.

[6] R. Tyrrell Rockafellar: Clarke's tangent cones and the boundaries of closed sets in $\mathbb {R} ^{n}$ ; in: Nonlinear Analysis, Theory, Methods, and Applications Vol. 3, 145–154, 1979; zitiert nach: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01552475/document, aufgerufen am 23. Juni 2022

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]