Επαυξημένος πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας επαυξημένος πίνακας^[1] $(A\vert B)$ είναι ένας $k\times (n+1)$ πίνακας που λαμβάνεται με την προσθήκη ενός $k$ -διάστατου διανύσματος στήλης $B$ , στα δεξιά, ως επιπλέον στήλη σε έναν $k\times n$ -διάστατο πίνακα $A$ . Αυτό γίνεται συνήθως με σκοπό την εκτέλεση των ίδιων στοιχειωδών πράξεων γραμμής στον επαυξημένο πίνακα $(A\vert B)$ όπως γίνεται στον αρχικό $A$ κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με Γκαουσιανή απαλοιφή.^[2]^[3]

Παραδείγματος χάριν, δεδομένων των πινάκων $A$ και του διανύσματος στήλης $B$ , όπου

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},$

ο επαυξημένος πίνακας $(A\vert B)$ είναι

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].$

Για δεδομένο αριθμό $n$ αγνώστων, ο αριθμός των λύσεων ενός συστήματος $k$ γραμμικών εξισώσεων εξαρτάται μόνο από την κατάταξη του πίνακα συντελεστών $A$ που αντιπροσωπεύει το σύστημα και την κατάταξη του αντίστοιχου επαυξημένου πίνακα $(A\vert B)$ όπου οι συνιστώσες του $B$ αποτελούνται από τις δεξιές πλευρές των $k$ διαδοχικών γραμμικών εξισώσεων. Σύμφωνα με το θεώρημα των Ρουσέ-Καπέλι, κάθε σύστημα γραμμικών εξισώσεων

AX=B

όπου $X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ είναι το διάνυσμα στήλης $n$ συνιστωσών του οποίου οι εγγραφές είναι οι άγνωστοι του συστήματος είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις) αν η τάξη του επαυξημένου πίνακα $(A\vert B)$ είναι μεγαλύτερη από την τάξη του πίνακα συντελεστών $A$ . Αν, από την άλλη πλευρά, οι βαθμοί αυτών των δύο πινάκων είναι ίσοι, το σύστημα πρέπει να έχει τουλάχιστον μία λύση. Η λύση είναι μοναδική αν και μόνο αν η τάξη ισούται με τον αριθμό των μεταβλητών $n$ . Διαφορετικά, η γενική λύση έχει $j$ ελεύθερες παραμέτρους, όπου $j$ είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού των μεταβλητών $n$ και του rank. Σε μια τέτοια περίπτωση υπάρχει ως αφινικός χώρος λύσεων διάστασης ίσης με αυτή τη διαφορά.

Ο αντίστροφος ενός μη-ιδιάζοντος τετραγωνικού πίνακα $A$ διάστασης $n\times n$ μπορεί να βρεθεί ως εξής προσθέτοντας τον $n\times n$ ταυτοτικό πίνακα $\mathbf {I}$ στα δεξιά του $A$ για να σχηματιστεί ο $n\times 2n$ διαστάσεων επαυξημένος πίνακας $(A\vert \mathbf {I} )$ . Εφαρμόζοντας στοιχειώδεις πράξεις γραμμής για να μετασχηματιστεί το αριστερό $n\times n$ μπλοκ στον ταυτοτικό πίνακα $\mathbf {I}$ , το δεξιό $n\times n$ μπλοκ είναι τότε ο αντίστροφος πίνακας $A^{-1}$

Παράδειγμα εύρεσης του αντίστροφου πίνακα

Έστω $A$ ο τετραγωνικός πίνακας 2×2

$A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$

Για να βρούμε τον αντίστροφο του $A$ σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα $(A\vert \mathbf {I} _{2})$ όπου $\mathbf {I} _{2}$ είναι ο $2\times 2$ Ταυτοτικός πίνακας. Στη συνέχεια ανάγουμε το μέρος του $(A\vert \mathbf {I} _{2}$ που αντιστοιχεί στον $A$ στον πίνακα ταυτότητας χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις γραμμής στον $(A\vert \mathbf {I} _{2})$ .^[1]^[4]

$(A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$ $(I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],$

το δεξιό μέρος του οποίου είναι το αντίστροφο $A^{-1}$ .

Ύπαρξη και αριθμός λύσεων

Ας θεωρήσουμε το σύστημα εξισώσεων

${\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}$

Ο πίνακας συντελεστών είναι

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

και ο επαυξημένος πίνακας είναι

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].$

Εφόσον και οι δύο έχουν τον ίδιο βαθμό, δηλαδή 2, υπάρχει τουλάχιστον μία λύση- και εφόσον ο βαθμός τους είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων, ο οποίος είναι 3, υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων.^[5]

Αντιθέτως, ας θεωρήσουμε το σύστημα

${\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}$

Ο πίνακας συντελεστών είναι

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

και ο επαυξημένος πίνακας είναι

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$

Σε αυτό το παράδειγμα, ο πίνακας συντελεστών έχει βαθμό 2, ενώ ο επαυξημένος πίνακας έχει βαθμό 3, οπότε αυτό το σύστημα εξισώσεων δεν έχει λύση. Πράγματι, η αύξηση του αριθμού των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών έχει καταστήσει το σύστημα εξισώσεων ασυμβίβαστο.

Λύση ενός γραμμικού συστήματος

Όπως χρησιμοποιείται στη γραμμική άλγεβρα, ένας επαυξημένος πίνακας χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των συντελεστών και του διανύσματος λύσης κάθε συνόλου εξισώσεων. Για το σύνολο των εξισώσεων^[6]

${\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}$

οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι δίνουν τους πίνακες

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},$

και ως εκ τούτου δίνουν τον επαυξημένο πίνακα

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].$

Ας σημειωθεί ότι η τάξη του πίνακα συντελεστών, η οποία είναι 3, ισούται με την τάξη του επαυξημένου πίνακα, οπότε υπάρχει τουλάχιστον μία λύση- και εφόσον αυτή η τάξη ισούται με τον αριθμό των αγνώστων, υπάρχει ακριβώς μία λύση.

Για να επιτευχθεί η λύση, μπορούν να εκτελεστούν πράξεις γραμμής στον επαυξημένο πίνακα για να ληφθεί ο πίνακας ταυτότητας στην αριστερή πλευρά, οπότε προκύπτει

$\left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],$

οπότε η λύση του συστήματος είναι $(x, y, z) = (4, 1, -2)$ .

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Εσωτερικό γινόμενο
Αντιερμιτιανός πίνακας
Πίνακας (μαθηματικά)
Τριγωνικός πίνακας
Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Ελλειπτική γεωμετρία
Ταυτοτικός πίνακας
Μετασχηματιστής
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244.
Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001.
Lili Xiao and Dennis K. J. Lin and Fengshan Bai (2012). «Constructing Definitive Screening Designs Using Conference Matrices». Journal of Quality Technology 44 (1): 2–8. doi:10.1080/00224065.2012.11917877.
Grcar, Joseph F. (2011a), «How ordinary elimination became Gaussian elimination», Historia Mathematica 38 (2): 163–218, doi:10.1016/j.hm.2010.06.003
Grcar, Joseph F. (2011b), «Mathematicians of Gaussian elimination», Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 782–792, https://www.ams.org/notices/201106/rtx110600782p.pdf
Higham, Nicholas (2002), Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2nd έκδοση), SIAM, ISBN 978-0-89871-521-7 .
Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2 .
Kaw, Autar· Kalu, Egwu (2010). «Numerical Methods with Applications: Chapter 04.06 Gaussian Elimination» (PDF) (1st έκδοση). University of South Florida. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 7 Σεπτεμβρίου 2012.

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 «Augmented matrix». www.statlect.com. Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.
↑ «Algebra - Augmented Matrices». tutorial.math.lamar.edu. Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.
↑ «Απαλοιφή Gauss - Απαλοιφή Gauss-Jordan» (PDF).
↑ «Augmented Matrix: Definition, Properties, Solved Examples & FAQs». GeeksforGeeks (στα Αγγλικά). 13 Μαρτίου 2022. Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.
↑ Atanassov, Krassimir T. (3 Σεπτεμβρίου 2014). Index Matrices: Towards an Augmented Matrix Calculus. Springer. ISBN 978-3-319-10945-9.
↑ «How do you solve an augmented matrix ?». byjus.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Marvin Marcus and Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, (ISBN 0-486-67102-X). Page 31.

[:0-1] 1,0 ^1,1 «Augmented matrix». www.statlect.com. Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.

[2] «Algebra - Augmented Matrices». tutorial.math.lamar.edu. Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.

[3] «Απαλοιφή Gauss - Απαλοιφή Gauss-Jordan» (PDF).

[4] «Augmented Matrix: Definition, Properties, Solved Examples & FAQs». GeeksforGeeks (στα Αγγλικά). 13 Μαρτίου 2022. Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.

[5] Atanassov, Krassimir T. (3 Σεπτεμβρίου 2014). Index Matrices: Towards an Augmented Matrix Calculus. Springer. ISBN 978-3-319-10945-9.

[6] «How do you solve an augmented matrix ?». byjus.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 12 Αυγούστου 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]