Στοιχειώδης πίνακας

Στα μαθηματικά, ένας στοιχειώδης πίνακας είναι ένας πίνακας που διαφέρει από τον πίνακα ταυτότητας κατά μία μόνο στοιχειώδη πράξη γραμμής. Οι στοιχειώδεις πίνακες δημιουργούν τη γενική γραμμική ομάδα GL_n(F) όταν το F είναι ένα πεδίο. Ο αριστερός πολλαπλασιασμός (προπολλαπλασιασμός) με έναν στοιχειώδη πίνακα αντιπροσωπεύει στοιχειώδεις πράξεις γραμμής, ενώ ο δεξιός πολλαπλασιασμός (μεταπολλαπλασιασμός) αντιπροσωπεύει στοιχειώδεις πράξεις στήλης.

Οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμής χρησιμοποιούνται στην Γκαουσιανή απαλοιφή για την αναγωγή μιας γραμμης Κλιμακωτής μορφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στην απαλοιφή Γκάους-Ζόρνταν για την περαιτέρω αναγωγή του πίνακα σε μειωμένη κλιμακωτή μορφή.

Στοιχειώδεις πράξεις γραμμής

Υπάρχουν τρεις τύποι στοιχειωδών πινάκων, οι οποίοι αντιστοιχούν σε τρεις τύπους πράξεων γραμμής (αντίστοιχα, πράξεων στήλης):

Αλλαγή γραμμής

Μια γραμμή μέσα στον πίνακα μπορεί να αλλαχθεί με μια άλλη γραμμή.

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Πολλαπλασιασμός σειρών

Κάθε στοιχείο σε μια σειρά μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μια μη μηδενική σταθερά. Είναι επίσης γνωστός ως κλιμάκωση μιας γραμμής.

$kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0$

Προσθήκη σειράς

Μια γραμμή μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα αυτής της γραμμής και ενός πολλαπλάσιου μιας άλλης γραμμής.

$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j$

Εάν E είναι ένας στοιχειώδης πίνακας, όπως περιγράφεται παρακάτω, για να εφαρμόσετε τη στοιχειώδη πράξη γραμμής σε έναν πίνακα A, πολλαπλασιάζετε τον A με τον στοιχειώδη πίνακα στα αριστερά, EA. Ο στοιχειώδης πίνακας για οποιαδήποτε πράξη γραμμής προκύπτει από την εκτέλεση της πράξης στον πίνακα ταυτότητας. Το γεγονός αυτό μπορεί να κατανοηθεί ως μια περίπτωση του λήμματος Γιονέντα που εφαρμόζεται στην κατηγορία των πινάκων.

Μετασχηματισμοί εναλλαγής σειρών

Δείτε επίσης: Πίνακας μετάθεσης

Ο πρώτος τύπος πράξης γραμμής σε έναν πίνακα A αλλάζει όλα τα στοιχεία του πίνακα στη γραμμή i με τα αντίστοιχα στοιχεία τους σε μια διαφορετική γραμμή j. Ο αντίστοιχος στοιχειώδης πίνακας προκύπτει από την ανταλλαγή της γραμμής i και της γραμμής j του ταυτοτικού πίνακα.

$T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Έτσι, D_i(m)A είναι ο πίνακας που παράγεται από τον A πολλαπλασιάζοντας τη γραμμή i επί m.

Με βάση τους συντελεστές, ο πίνακας D_i(m) ορίζεται ως εξής :

$[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}$

Ιδιότητες

• Το αντίστροφο αυτού του πίνακα δίνεται από τη σχέση $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).$
• Ο πίνακας και ο αντίστροφός του είναι διαγώνιοι πίνακες.
• $\det(D_{i}(m))=m.$ Επομένως, για έναν τετραγωνικό πίνακα A (του σωστού μεγέθους), έχουμε $\det(D_{i}(m)A)=m\det(A).$

Μετασχηματισμοί προσθήκης σειράς

Ο τελευταίος τύπος πράξης προσθήκης γραμμής σε έναν πίνακα A προσθέτει τη γραμμή j πολλαπλασιασμένη με ένα κλιμάκιο m στη γραμμή i. Ο αντίστοιχος στοιχειώδης πίνακας είναι ο πίνακας ταυτότητας αλλά με ένα m στη θέση (i, j).

$L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Έτσι, ο L_ij(m)A είναι ο πίνακας που παράγεται από τον A προσθέτοντας m φορές τη γραμμή j στη γραμμή i. Και ο A L_ij(m) είναι ο πίνακας που παράγεται από τον A προσθέτοντας m φορές τη στήλη i στη στήλη j.

Από πλευράς συντελεστών, ο πίνακας L_ij(m) ορίζεται από τη σχέση :

$[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}$

Ιδιότητες

• Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι ένα είδος διατμητικής απεικόνισης, επίσης γνωστές ως transvections.
• Ο αντίστροφος αυτού του πίνακα δίνεται από τη σχέση $L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).$
• Ο πίνακας και ο αντίστροφός του είναι τριγωνικοί πίνακες.
• $\det(L_{ij}(m))=1.$ Επομένως, για έναν τετραγωνικό πίνακα A (του σωστού μεγέθους) έχουμε $\det(L_{ij}(m)A)=\det(A).$
• Οι μετασχηματισμοί προσθήκης σειράς ικανοποιούν τις σχέσεις Σταίνμπεργκ.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Φυσικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Χωροχρόνος Μινκόβσκι
• Γκαουσιανή απαλοιφή
• Ταυτοτικός πίνακας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• An Introduction to Difference Equations
• Theory Of Difference Equations Numerical Methods And Applications
• Differential Equations, Difference Equations and Matrix Theory

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9,  
• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd έκδοση), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html, ανακτήθηκε στις 2024-07-22 
• Perrone, Paolo (2024), Starting Category Theory, World Scientific, doi:10.1142/9789811286018_0005, ISBN 978-981-12-8600-1, https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/13670 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd έκδοση), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th έκδοση), Wiley International 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th έκδοση), Pearson Prentice Hall 
• Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th έκδοση), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6 

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).