Επί συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μια συνάρτηση $f$ από ένα σύνολο $X$ σε ένα σύνολο $Y$ είναι επί του $Y$ (ή επιρριπτική ή επίρριψη), εάν για κάθε $y$ στο πεδίο τιμών $Y$, υπάρχει τουλάχιστον ένα $x$ στο πεδίο ορισμού $X$ του $f$, τέτοιο ώστε $f(x)=y$. Το $x$ δεν είναι απαραίτητο να είναι μοναδικό, δηλαδή η $f$ μπορεί να αντιστοιχεί ένα ή περισσότερα στοιχεία του $X$ στο ίδιο στοιχείο του $Y$.

Μία επί συνάρτηση από το σύνολο $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$ στο σύνολο $B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$, αφού κάθε στοιχείο του $B$ αντιστοιχείται από ένα στοιχείο του $A$.

Μία συνάρτηση που δεν είναι επί από το σύνολο $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$ στο σύνολο $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\}$, καθώς τα στοιχεία $b_{4},b_{5}$ δεν αντιστοιχούνται από κάποιο στοιχείο.

Μαθηματικός ορισμός

Συμβολικά, μία συνάρτηση $f:X\rightarrow Y$ ονομάζεται επί αν ικανοποιεί

$\forall y\in Y.\ \exists x\in X.\ f(x)=y$.

Ισοδύναμα, η συνάρτηση είναι επί αν το σύνολο τιμών ισούται με το πεδίο τιμών της συνάρτησης, δηλαδή αν $f(X)=Y$.

Παραδείγματα

Όταν αναφέρουμε αν μία συνάρτηση είναι επί ή όχι πρέπει να αναγράφεται το πεδίο ορισμού και το πεδίου τιμών, καθώς

Η $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$ με $f(x)={\sqrt {x}}$ είναι επί.

Η $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ με $f(x)={\sqrt {x}}$ δεν είναι επί, καθώς οι αρνητικοί αριθμοί δεν αντιστοιχούνται.

Η $f:[1,4]\to [1,2]$ με $f(x)={\sqrt {x}}$ είναι επί.

Η $f:[1,4]\to [1,4]$ με $f(x)={\sqrt {x}}$ δεν είναι επί.

Επιπλέον παραδείγματα:

• Η ταυτοτική συνάρτηση είναι επί, αφού κάθε στοιχείο αντιστοιχείται στον εαυτό του.
• Κάθε γραμμική πραγματική συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (εκτός από την σταθερή συνάρτηση) είναι επί.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση $f(x)=3x+5$ είναι επί (καθώς για κάθε $y\in \mathbb {R}$, το $x=(y-5)/3$ έχει $f(x)=y$), ενώς η $f(x)=5$ δεν είναι επί.

Σημείωση: Μία γραμμική συνάρτηση $g:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ στους φυσικούς αριθμούς δεν είναι κατά ανάγκη επί. Για παράδειγμα, η $g(x)=2x+1$ δεν είναι επί καθώς δεν αντιστοιχεί σε κανέναν ζυγό αριθμό.

• Η συνάρτηση $f:[-4,\infty )\to [0,\infty )$ με $f(x)=(x+4)^{2}$ είναι επί.

Ιδιότητες

• Οποιαδήποτε συνάρτηση ορίζει μία επί συνάρτηση περιορίζοντας το πεδίο τιμών της στο σύνολο τιμών της. Δηλαδή, για την συνάρτηση $f:X\to Y$, η συνάρτηση $g:X\to f(X)$ με

$g(x)=f(x)$ για κάθε $x\in X$

είναι επί.

• Κάθε επί συνάρτηση έχει ένα δεξιό αντίστροφο, και κάθε συνάρτηση με ένα δεξιό αντίστροφο είναι αναγκαστικά επί.
• Η σύνθεση επί συναρτήσεων είναι πάντα επί.
• Οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να αποσυντεθεί σε μια επί και μια ένα προς ένα συνάρτηση.

Δείτε επίσης

• Ένα προς ένα συνάρτηση
• Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση