Αρμονική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, τη μαθηματική φυσική και στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, μια αρμονική συνάρτηση είναι μια διπλά συνεχής διαφορική συνάρτηση f:U→R (όπου U ένα ανοικτό υποσύνολο του Rⁿ), η οποία ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλας π.χ

${\partial ^{2}f \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{2}^{2}}+...+{\partial ^{2}f \over \partial x_{n}^{2}}=0$ ,παντού στο U.

Αυτό συνήθως γράφεται ως: $\nabla \ ^{2}f=0$ ή $\bigtriangleup f=0$.

Παραδείγματα

Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων με δύο μεταβλητές είναι:

• Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης
• Η συνάρτηση $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y$, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος, καθώς $f(x,y)=\operatorname {Im} (e^{x+iy})$ και να $e^{x+iy}$ είναι ολόμορφη συνάρτηση.
• Η συνάρτηση

$\,\!f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

ορίζεται $\mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace$ (π. χ. το ηλεκτρικό δυναμικό που οφείλεται σε μια γραμμή, και το δυναμικό βαρύτητας που οφείλεται σε μια μεγάλη κυλινδρική μάζα).

Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων τριών μεταβλητών δίνονται στον παρακάτω πίνακα με $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$:

Συνάρτηση	Σημείο Ανωμαλίας
${\frac {1}{r}}$	Μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων
${\frac {x}{r^{3}}}$	x-προσανατολισμένο δίπολο στην αρχή των αξόνων
$-\ln(r^{2}-z^{2})\,$	Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου σε ολόκληρο το z-άξονα
$-\ln(r+z)\,$	Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου στον αρνητικό z-άξονα
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων σε ολόκληρο τον άξονα z
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων στον αρνητικό άξονα z

Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως οριακών συνθηκών Dirichlet ή Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγει μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο, οπότε σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.

Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της ηλεκτροστατικής. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το ηλεκτροστατικό δυναμικό λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παράξει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η αντιστροφή κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.

Τέλος, παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων n μεταβλητών είναι:

• Οι σταθερές, γραμμικές και συναφής συναρτήσεις σε όλο το Rⁿ (για παράδειγμα, το ηλεκτρικό δυναμικό μεταξύ των πλακών του πυκνωτή, και η βαρύτικό δυναμικό της πλάκας)
• Η συνάρτηση$\,\!f(x_{1},\dots ,x_{n})=({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2})^{1-n/2}$ στο $\mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace$ για n > 2.

Παρατηρήσεις

Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα ανοικτό δοσμενο σύνολο U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή Λαπλας Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.

Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση στο σύνολο U, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f θα είναι αρμονικές συναρτήσεις στο U.

Κατά κάποιο τρόπο, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των ολομορφικών συναρτήσεων.

Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι αναλυτικές, μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο τελεστής Λαπλας.

Το ομοιόμορφο όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας αρμονικών συναρτήσεων είναι κι αυτό αρμονικό. Αυτό ισχύει καθώς κάθε συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί την ιδιότητα της μέσης τιμής είναι αρμονική.

Ας εξεταστεί η ακολουθία $fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)$ , ορισμένη στο $(-\infty ,0)\times R$. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και συγκλίνει ομοιόμορφα στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι μερικές παράγωγοι της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.

Σύνδεση με τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων

Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος κάθε ολόμορφης συνάρτησης δίνουν αρμονικές συναρτήσεις στον R² (αυτές αποτελούν ένα ζευγάρι σηζυγών αρμονικών συναρτήσεων). Αντιστρόφως, κάθε αρμονική συνάρτηση u σε ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του R² είναι τοπικά το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό παρατηρώντας την z = x + iy. Η μιγαδική συνάρτηση g(z) := u_x − i u_y είναι ολόμορφη στο Ω επειδή ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Ως εκ τούτου, το g έχει τοπικά μια παράγουσα f, και το u είναι το πραγματικό μέρος της f πάνω σε μια σταθερά, όπως το u_x είναι το πραγματικό μέρος της $\scriptstyle f\,^{\prime }=g$ .

Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών, αρμονικές συναρτήσεις με n μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι αναλυτικές, ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου και της μέσης τιμής.Το θεώρημα της απαλοιφής των ανώμαλων σημείων καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για αυτές κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα στη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων.