Πραγματικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
μ
Ρομπότ: Τροποποίηση: tr:Reel sayılar; διακοσμητικές αλλαγές
μ (Ρομπότ: Προσθήκη: gan:實數)
μ (Ρομπότ: Τροποποίηση: tr:Reel sayılar; διακοσμητικές αλλαγές)
Στα [[μαθηματικά]], οι '''πραγματικοί αριθμοί''' γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το [[σύνολο]] όλων των αριθμών που είναι σε [[ένα προς ένα αντιστοιχία]] με τα [[σημείο|σημεία]] μιας άπειρης [[ευθεία|ευθείας]], που καλείται ''ευθεία των πραγματικών αριθμών'' ή ''πραγματικός άξονας''. Ο όρος "πραγματικός αριθμός" πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "[[φανταστικός αριθμός|φανταστικούς αριθμούς]]", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικούς]]. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της [[πραγματική ανάλυση|πραγματικής ανάλυσης]]. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο πραγματικός αριθμός ορίζεται ως εξής:
 
Άν για τον αριθμό L ισχύει <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L </math> , όπου a<sub>n</sub> μια ρητή προσέγγιση του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο L είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε να γράψουμε μια δεκαδική προσέγγιση, όπως στον αριθμό [[αριθμός π|π]]~3,14.
 
Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε [[ρητός αριθμός|ρητούς αριθμούς]] (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και σε [[άρρητος αριθμός|άρρητους αριθμούς]] (που δεν μπορούν να εκφραστούν επακριβώς ως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.
Κάθε "φυσικό [[μέγεθος]]" που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως με έναν πραγματικό αριθμό. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με <math>\R</math>.
 
== Αξιωματική Θεμελίωση των Πραγματικών Αριθμών ==
Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο <math>\R</math> το οποίο ικανοποιά τα παρακάτω τρία αξιώματα:
* Το σύνολο <math>\R</math> αποτελεί [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]. Αναλυτικά:
** Για όλα τα x, y, και z στο <math>\R</math>, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.
** Για όλα τα x και y στο <math>\R</math>, x + y = y + x και xy = yx.
** Για όλα τα x στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 <math>\neq</math> 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.
** Για όλα τα x στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x.
** Για όλα τα x ≠ 0 στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο x<sup>&minus;1−1</sup> στο R, τέτοιο ώστε xx <sup>&minus;1−1</sup> = 1 = x <sup>&minus;1−1</sup> x.
 
* Το σώμα <math>\R</math> είναι [[Διάταξη|διατεταγμένο]]. Αναλυτικά για x, y, και z στο <math>\R</math>
** ισχύει ακριβώς μια από τις: x<y, x=y, x>y (τριχοτομία)
** αν x<y τότε x+z<y+z
** αν x>0 και y>0 τότε xy>0.
 
* Το διατεταγμένο σώμα <math>\R</math> είναι [[πλήρες]]: Κάθε μη κένό άνω [[Φράγμα (μαθηματικά)|φραγμένο]] υποσύνολό του έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (suprimum).
:Ισοδύναμα μπορούμε να ορίσουμε την πληρότητα με τον ορισμό στους μετρικούς χώρους, δηλαδή κάθε [[ακολουθία Κωσύ]] συγλίνει.
 
Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι [[Ισομορφισμός|ισομορφικά]], κάτι που μας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχει μόνο '''ένα''' [[πλήρες διατεταγμένο σώμα]], το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο <math>\Q</math> των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την [[Αρχή της πληρότητας]] ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα.
 
== Κατασκευή ==
Για την κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιούμε ως αφετερία το σύνολο των ρητών αριθμών <math>\Q</math>.
Ζητούμε ένα σύνολο που είναι διατεταγμένο σώμα όπως το <math>\Q</math> και επιπλέον ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητας.
 
 
== Η ευθεία των πραγματικών αριθμών ==
 
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια [[ευθεία]], της οποίας κάθε [[σημείο]] αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό. Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται. Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά απ'αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό. Αν x=0, τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς.
Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία α και β πάνω του, τότε ή το α είναι αριστερά του β ή το α θα συμπέσει με το β ή το α θα είναι δεξιά του β. Η πρόταση αυτή ακούγεται προφανής.
 
[[ΕικόναΑρχείο: Recta_real_entero_o_decimal_exacto.png|right]]Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το [[σύνολο]] των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό που πάντα μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] κι αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας.
 
 
== Πληθάριθμος ==
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι '''υπεραριθμήσιμο'''. Σε αντίθεση δηλαδή με τους [[φυσικός αριθμός|φυσικούς αριθμούς]] δεν μπορούμε να απαριθμίσουμε όλους τους πραγματικούς.
Ο [[πληθάριθμος]] του <math>\R</math> συμβολίζεται με τον ''πληθάριθμο του συνεχούς'' <math>\mathfrak c</math>.
 
 
== Τοπολογικές ιδιότητες ==
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την [[ευκλείδεια μετρική]] αποτελούν [[μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]].
Η συνήθης [[τοπολογία]] προκύπτει από ανοιχτα διαστήματα της μορφής <math>B_r(p)=\{x\in\R:|x-p|<r\}</math>.
[[sv:Reella tal]]
[[th:จำนวนจริง]]
[[tr:GerçelReel sayılar]]
[[uk:Дійсні числа]]
[[uz:Haqiqiy sonlar]]

Μενού πλοήγησης