Διάταξη

Στα μαθηματικά, μία διάταξη μεγέθους $k$ ενός συνόλου $A$ με $n$ στοιχεία, είναι οποιαδήποτε διατεταγμένη $k$-άδα $(a_{1},\ldots ,a_{k})$, όπου $a_{1},\ldots ,a_{k}$ είναι στοιχεία του $A$ και διαφορετικά μεταξύ τους.

Για παράδειγμα, για το σύνολο $A=\{{\color {red}\alpha },{\color {green}\beta },{\color {blue}\gamma },{\color {orange}\delta }\}$, οι δυνατές διατάξεις μεγέθους $2$ είναι οι εξής:

$({\color {red}\alpha },{\color {green}\beta })$, $({\color {red}\alpha },{\color {blue}\gamma })$, $({\color {red}\alpha },{\color {orange}\delta })$, $({\color {green}\beta },{\color {blue}\gamma })$, $({\color {green}\beta },{\color {orange}\delta })$, $({\color {blue}\gamma },{\color {orange}\delta })$,

$({\color {green}\beta },{\color {red}\alpha })$, $({\color {blue}\gamma },{\color {red}\alpha })$, $({\color {orange}\delta },{\color {red}\alpha })$, $({\color {blue}\gamma },{\color {green}\beta })$, $({\color {orange}\delta },{\color {green}\beta })$, $({\color {orange}\delta },{\color {blue}\gamma })$.

Μερικές από τις δυνατές διατάξεις μεγέθους $3$ είναι οι εξής: $({\color {red}\alpha },{\color {orange}\delta },{\color {blue}\gamma })$, $({\color {blue}\gamma },{\color {green}\beta },{\color {red}\alpha })$ και $({\color {red}\alpha },{\color {green}\beta },{\color {blue}\gamma })$. Ενώ οι τριάδες $({\color {red}\alpha },{\color {green}\beta },{\color {red}\alpha })$ και $({\color {orange}\delta },{\color {orange}\delta },{\color {red}\alpha })$ δεν είναι διατάξεις, καθώς επαναλαμβάνουν στοιχεία.

Στις διατάξεις με επανάληψη, τα στοιχεία της $k$-άδας μπορεί να είναι τα ίδια. Στους συνδυασμούς $n$ ανά $k$, η σειρά των στοιχείων της $k$-άδας δεν έχει σημασία.

Πλήθος διατάξεων

Το πλήθος των διατάξεων $n$ στοιχείων ανά $k$ δίνεται από τον εξής τύπο:

$(n)_{k}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.

Απόδειξη  

Η απόδειξη για αυτόν τον τύπο βασίζεται στις εξής παρατηρήσεις:

• Για την πρώτη θέση υπάρχουν $n$ δυνατά στοιχεία που μπορούμε να τοποθετήσουμε,
• Για την δεύτερη θέση υπάρχουν $n-1$ δυνατά στοιχεία (όλα εκτός από αυτό που τοποθετήσαμε στην πρώτη θέση),
• Για την τρίτη θέση υπάρχουν $n-2$ δυνατά στοιχεία
• $\ldots$
• Για την $k$-οστή θέση, υπάρχουν $n-k+1$ δυνατά στοιχεία.

Από την βασική αρχή απαρίθμησης, πολλαπλασιάζοντας τις δυνατές επιλογές σε κάθε βήμα λαμβάνουμε το ζητούμενο πλήθος των δυνατών διατάξεων.

Υπενθυμίζοντας ότι το $n$ παραγοντικό ορίζεται ως

$n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1$,

το πλήθος των διατάξεων μπορεί να εκφραστεί ως

$(n)_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}.$

Για $n=k$, οι διατάξεις $n$ ανά $n$ είναι οι μεταθέσεις και το πλήθος τους είναι $n!$.

Δείτε επίσης

• Διάταξη με επανάληψη
• Μετάθεση (μαθηματικά)
• Συνδυασμός
• Βασική αρχή απαρίθμησης