Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε ένα σύνολο διάφορο του κενού και άνω φραγμένο. Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα , ήτοι,

  • Υπάρχει (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
    • για κάθε
    • Αν για κάθε τότε

H ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του .

Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, ) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο τέτοιο ώστε για κάθε φυσικό αριθμό .

Παρατηρούμε ότι το σύνολο δεν είναι πλήρες. Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο . Το είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του δηλαδή τον άρρητο αριθμό .

Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)