Διάσταση συσκευασίας

Στα μαθηματικά, η διάσταση συσκευασίας^[1] είναι μία από τις έννοιες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να οριστεί η διάσταση ενός υποσυνόλου σε έναν μετρικό χώρο. Η διάσταση συσκευασίας είναι κατά μία έννοια διπλή της διάστασης Χάουσντορφ^[2], δεδομένου ότι η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με το "πακετάρισμα" μικρών ανοικτών σφαιρών στο εσωτερικό του δεδομένου υποσυνόλου, ενώ η διάσταση Χάουσντορφ κατασκευάζεται με την κάλυψη του δεδομένου υποσυνόλου από τέτοιες μικρές ανοικτές σφαίρες. Η διάσταση συσκευασίας εισήχθη από τον C. Tricot Jr.^[3] το 1982.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω (X, d) μετρικός χώρος με υποσύνολο S ⊆ X και s ≥ 0 πραγματικός αριθμός. Το s-διάστατο προ-μέτρο συσκευασίας του S ορίζεται ως εξής

P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ είναι μια μετρήσιμη συλλογή}}\\{\text{από κλειστές σφαίρες κατά ζεύγη με}}\\{\text{διαμέτρους }}\leq \delta {\text{ και κέντρα στο }}S\end{matrix}}\right\}.

δηλαδή, το μέτρο συσκευασίας του S είναι το ελάχιστο των προμετρήσεων συσκευασίας των μετρήσιμων καλυμμάτων του S.

Αφού γίνει αυτό, η διάσταση συσκευασίας dim_P(S) of S ορίζεται αναλογικά με τη διάσταση Χάουστορφ^[2]:

{\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ακόλουθο παράδειγμα είναι η απλούστερη κατάσταση όπου οι διαστάσεις Χάουσντορφ και συσκευασίας μπορεί να διαφέρουν.

Καθορίζουμε μια ακολουθία $(a_{n})$ τέτοια ώστε $a_{0}=1$ και $0<a_{n+1}<a_{n}/2$ . Ορίζουμε επαγωγικά μια εμφωλευμένη ακολουθία $E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots$ συμπαγών υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής ως εξής: Έστω $E_{0}=[0,1]$ . Για κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του $E_{n}$ (η οποία θα είναι αναγκαστικά ένα διάστημα μήκους $a_{n}$ ), διαγράφουμε το μεσαίο διάστημα μήκους $a_{n}-2a_{n+1}$ , λαμβάνοντας δύο διαστήματα μήκους $a_{n+1}$ , τα οποία θα θεωρηθούν ως συνδεδεμένες συνιστώσες του $E_{n+1}$ . Στη συνέχεια, ορίζουμε $K=\bigcap _{n}E_{n}$ . Τότε το $K$ είναι τοπολογικά ένα σύνολο Κάντορ (δηλ. ένας συμπαγής εντελώς ασύνδετος τέλειος χώρος). Παραδείγματος χάριν, το $K$ θα είναι το συνηθισμένο σύνολο Κάντορ μεσαίων-τρίτων αν $a_{n}=3^{-n}$ .

Είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι οι διαστάσεις Χάουσντορφ και οι διαστάσεις συσκευασίας του συνόλου $K$ δίνονται αντίστοιχα από:

{\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}

Προκύπτει εύκολα ότι με δεδομένους αριθμούς $0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1$ , μπορεί κανείς να επιλέξει μια ακολουθία $(a_{n})$ όπως παραπάνω, έτσι ώστε το σχετικό (τοπολογικό) σύνολο του Κάντορ $K$ να έχει διάσταση Χάουστορφ $d_{1}$ και διάσταση συσκευασίας $d_{2}$ .

Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μπορούμε να θεωρήσουμε συναρτήσεις διάστασης πιο γενικές από τη "διάμετρο στα s": για κάθε συνάρτηση h : [0, +∞) → [0, +∞], έστω ότι η προμέτρηση συσκευασίας του S με συνάρτηση διάστασης h ορίζεται ως εξής^[4]^[5]

P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ είναι μια μετρήσιμη συλλογή}}\\{\text{από διαχωρισμένες σφαίρες κατά ζεύγη με}}\\{\text{διαμέτρους }}\leq \delta {\text{ και κέντρα σε }}S\end{matrix}}\right\}

και ορίζουμε το μέτρο συσκευασίας του S με συνάρτηση διάστασης h ως εξής

P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ μετρήσιμο}}\right\}.

Η συνάρτηση h λέγεται ότι είναι μια ακριβής (packing') συνάρτηση διάστασης για το S αν P^h(S) είναι και πεπερασμένη και αυστηρά θετική.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν S είναι ένα υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου Rⁿ με τη συνήθη μετρική του, τότε η διάσταση συσκευασίας του S είναι ίση με την ανώτερη τροποποιημένη διάσταση κουτιού του S:^[6]

\dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).

Το αποτέλεσμα αυτό είναι ενδιαφέρον διότι δείχνει πώς μια διάσταση που προκύπτει από ένα μέτρο (διάσταση συσκευασίας) συμπίπτει με μια διάσταση που προκύπτει χωρίς τη χρήση μέτρου (η τροποποιημένη διάσταση κουτιού).

Ας σημειωθεί, ωστόσο, ότι η διάσταση συσκευασίας δεν είναι ίση με τη διάσταση του κουτιού. Παραδείγματος χάριν, το σύνολο των ρητών Q έχει διάσταση κουτιού ένα και διάσταση συσκευασίας μηδέν.^[7]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Tricot, Claude Jr. (1982). «Two definitions of fractional dimension». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119. MR 633256

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Bishop, Christopher J.; Peres, Yuval (1996). «Packing Dimension and Cartesian Products». Transactions of the American Mathematical Society 348 (11): 4433–4445. ISSN 0002-9947. https://www.jstor.org/stable/2155426.
↑ ^2,0 ^2,1 «Packing Dimension, Hausdorff Dimension and Cartesian Product Sets» (PDF).
↑ Shieh, Narn-Rueih; Xiao, Yimin (2010). «Hausdorff and packing dimensions of the images of random fields». Bernoulli 16 (4): 926–952. ISSN 1350-7265. https://www.jstor.org/stable/20839206.
↑ «PACKING DIMENSIONS OF GENERALIZED» (PDF).
↑ Internet Archive (6 Ιανουαρίου 2016). On packing dimension preservation by distribution functions of random variables with independent $\tilde{Q}$-digits. arXiv.org.
↑ Cattani, Carlo· Mabrouk, Anouar Ben (24 Φεβρουαρίου 2022). Fractal Analysis: Basic Concepts And Applications. World Scientific. ISBN 978-981-12-3945-8.
↑ Ruiz, Patricia Alonso· Chen, Joe Po-chou (26 Φεβρουαρίου 2020). Analysis, Probability And Mathematical Physics On Fractals. World Scientific. ISBN 978-981-12-1554-4.

[1] Bishop, Christopher J.; Peres, Yuval (1996). «Packing Dimension and Cartesian Products». Transactions of the American Mathematical Society 348 (11): 4433–4445. ISSN 0002-9947. https://www.jstor.org/stable/2155426.

[:0-2] 2,0 ^2,1 «Packing Dimension, Hausdorff Dimension and Cartesian Product Sets» (PDF).

[3] Shieh, Narn-Rueih; Xiao, Yimin (2010). «Hausdorff and packing dimensions of the images of random fields». Bernoulli 16 (4): 926–952. ISSN 1350-7265. https://www.jstor.org/stable/20839206.

[4] «PACKING DIMENSIONS OF GENERALIZED» (PDF).

[5] Internet Archive (6 Ιανουαρίου 2016). On packing dimension preservation by distribution functions of random variables with independent $\tilde{Q}$-digits. arXiv.org.

[6] Cattani, Carlo· Mabrouk, Anouar Ben (24 Φεβρουαρίου 2022). Fractal Analysis: Basic Concepts And Applications. World Scientific. ISBN 978-981-12-3945-8.

[7] Ruiz, Patricia Alonso· Chen, Joe Po-chou (26 Φεβρουαρίου 2020). Analysis, Probability And Mathematical Physics On Fractals. World Scientific. ISBN 978-981-12-1554-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]