Τύποι του Βιετά

Στα μαθηματικά, οι τύποι του Βιετά είναι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου ως άθροισμα γινομένων των ριζών του. Για παράδειγμα, για το τριώνυμο

$ax^{2}+bx+x=0$,

ισχύει ότι,

$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad$ και $\quad r_{1}\cdot r_{2}={\frac {c}{a}}$.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον Φραγκίσκο Βιετά.

Γενικοί τύποι

Σε ένα πολυώνυμο βαθμού $n$, $f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots a_{1}x+a_{0}$ με ρίζες $r_{1},\ldots ,r_{n}$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=-(r_{1}+\ldots +r_{n})\\{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=((r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\ldots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}++\ldots +r_{2}r_{n})\ldots +r_{n-1}r_{n})\\&\vdots \\{\frac {a_{0}}{a_{n}}}&=(-1)^{n}\cdot r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{n}.\end{aligned}}$

Πιο συμπυκνωμένα, μπορεί να γραφτεί ως

${\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}=(-1)^{k}\cdot \sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \ldots \leq i_{k}\leq n}\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}},$

όπου το άθροισμα είναι σε ακολουθίες μεγέθους $k$.

Τριώνυμο

Θεωρούμε το τριώνυμο $f(x)=ax^{2}+bx+c$ και έστω $r_{1}$ και $r_{2}$ οι ρίζες του. Τότε,

$f(x)=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})a\cdot (x^{2}-(r_{1}+r_{2})\cdot x+r_{1}r_{2})$,

και ισχύει ότι

$b=-a\cdot (r_{1}+r_{2})\quad$ και $\quad c=a\cdot r_{1}r_{2}$.

Παράδειγμα 1ο

Το τριώνυμο $f(x)=x^{2}+4x-5$, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $f(x)=(x+5)\cdot (x-1)$ επομένως οι ρίζες του είναι $r_{1}=-5$ και $r_{2}=1$. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

$f(x)=x^{2}-(-5+1)x+(-5)\cdot (1)$.

Παράδειγμα 2ο

Το τριώνυμο $f(x)=2x^{2}-14x+24$, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x-4)$ επομένως οι ρίζες του είναι $r_{1}=3$ και $r_{2}=4$. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

$f(x)=2x^{2}-2\cdot (r_{1}+r_{2})x+2\cdot (r_{1}\cdot r_{2})$.

Τριτοβάθμιο πολυώνυμο

Θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ και έστω $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ οι ρίζες του. Τότε

$f(x)=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})$.

Επεκτείνοντας το γινόμενο,

${\begin{aligned}f(x)&=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})\\&=a\cdot (x^{2}-(r_{1}+r_{2})\cdot x+r_{1}r_{2})\cdot (x-r_{3})\\&=a\cdot (x^{3}-(r_{1}+r_{2}+r_{3})\cdot x^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{1}r_{3})\cdot x-r_{1}r_{2}r_{3}).\end{aligned}}$

Από αυτό προκύπτει ότι

${\frac {b}{a}}=-(r_{1}+r_{2}+r_{3})$, $\quad {\frac {c}{a}}=r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{1}r_{3}$ και $\quad {\frac {d}{a}}=r_{1}r_{2}r_{3}$.

Παράδειγμα

Το πολυώνυμο $f(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$ παραγοντοποιείται ως $f(x)=(x+1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)$ και επομένως οι ρίζες του είναι $r_{1}=-1$, $r_{2}=2$ και $r_{3}=3$. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

$f(x)=x^{3}-(-1+2+3)\cdot x^{2}+((-1)\cdot 2+2\cdot 3+(-1)\cdot 3)\cdot x-(-1)\cdot 2\cdot 3$.

Δείτε επίσης

• Τριώνυμο
• Πολυώνυμο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Γιάνναρος, Διονύσης (Απριλίου 2014). «Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τους τύπους Vieta και το θεώρημα Bolzano». Ευκλείδης Β΄ (92): 70-73. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T92.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Funkhouser, H. Gray (Αυγούστου 1930). «A Short Account of the History of Symmetric Functions of Roots of Equations». The American Mathematical Monthly 37 (7): 357–365. doi:10.1080/00029890.1930.11987092. 
• Karayannakis, Dimitris; Aivalis, Constantine J. (2 Ιανουαρίου 2018). «Reciprocal Vieta-type formulas and some applications». Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography 21 (1): 35–39. doi:10.1080/09720529.2015.1132045.