Δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ

Στα μαθηματικά, ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ^[1] είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με ορισμένες από τις αλγεβρο-γεωμετρικές ιδιότητες μιας ομαλής ποικιλίας, όπως η τοπική ισοδιάσταση. Κάτω από ήπιες υποθέσεις, ένας τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ ακριβώς όταν είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο ελεύθερο module πάνω σε έναν κανονικό τοπικό υποδακτύλιο. Οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ παίζουν κεντρικό ρόλο στην αντιμεταθετική άλγεβρα: αποτελούν μια πολύ ευρεία κατηγορία, και παρόλα αυτά είναι καλά κατανοητοί με πολλούς τρόπους.

Πήραν το όνομά τους από τον Φράνσις Σάουερμπι Μακόλεϊ (1916), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για πολυωνυμικούς δακτυλίους, και από τον Ίρβιν Κοέν (1946), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για τυπικούς δακτυλίους δυναμοσειρών. Όλοι οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ έχουν την ιδιότητα της μη ανάμειξης.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο R, ένα πεπερασμένο (δηλ. πεπερασμένα παραγόμενο) R-module $M\neq 0$ είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module αν $\mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)$ (γενικά έχουμε: $\mathrm {depth} (M)\leq \mathrm {dim} (M)$ , βλέπε τύπο Αουσλάντερ-Μπούχσμπαουμ για τη σχέση μεταξύ depth και dim ενός συγκεκριμένου είδους ενοτήτων). Από την άλλη πλευρά, ο $R$ είναι ένα module στον εαυτό του, οπότε ονομάζουμε τον $R$ δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ ως $R$ -module. Ένα μέγιστο module Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ M τέτοιο ώστε $\mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)$ .^[2]

Ο παραπάνω ορισμός αφορούσε τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους. Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε τον ορισμό για έναν πιο γενικό Ναιτεριανό δακτύλιο: Αν $R$ είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος, τότε ένα R-module M ονομάζεται Κοέν-Μακόλεϊ module αν $M_{\mathrm {m} }$ είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module για όλα τα μέγιστα ιδεώδη $\mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)$ . (Αυτό είναι ένα είδος κυκλικού ορισμού, εκτός αν ορίσουμε τις μηδενικές ενότητες ως Κοέν-Μακόλεϊ. Οπότε ορίζουμε τις μηδενικές ενότητες ως ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ σε αυτόν τον ορισμό). Τώρα, για να ορίσουμε τις μέγιστες ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ για αυτούς τους δακτυλίους, απαιτούμε ο $M_{\mathrm {m} }$ να είναι μια τέτοια $R_{\mathrm {m} }$ -ενότητα για κάθε μέγιστο ιδεώδες $\mathrm {m}$ του R. Όπως και στην τοπική περίπτωση, το R είναι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ (ως ένα $R$ -module στον εαυτό του).^[3]

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι των ακόλουθων τύπων είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτό οδηγεί σε διάφορα παραδείγματα δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, όπως οι ακέραιοι $\mathbb {Z}$ , ή ένας πολυωνυμικός δακτύλιος $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ πάνω από ένα πεδίο K, ή ένας δακτύλιος δυναμοσειρών $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ . Με γεωμετρικούς όρους, κάθε κανονικό σχήμα, παραδείγματος χάριν μια ομαλή ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Κάθε δακτύλιος 0 διαστάσεων (ή ισοδύναμα, κάθε δακτύλιος Artinian).
Κάθε 1-διάστατος μειωμένος δακτύλιος, παραδείγματος χάριν κάθε 1-διάστατη περιοχή.
Κάθε 2-διάστατος κανονικός δακτύλιος.
Κάθε δακτύλιος Γκορένσταϊν. Ειδικότερα, οποιοσδήποτε πλήρης δακτύλιος τομής.
Ο δακτύλιος των αναλλοίωτων $R^{G}$ όταν R είναι μια άλγεβρα Κοέν-Μακόλεϊ πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν και G είναι μια πεπερασμένη ομάδα (ή γενικότερα, μια γραμμική αλγεβρική ομάδα της οποίας η συνιστώσα ταυτότητας είναι αναγωγική). Αυτό είναι το θεώρημα Χόχστερ - Ρόμπερτς.
Οποιοσδήποτε ντετερμινάνταλ δακτύλιος. Δηλαδή, έστω R το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου S προς το ιδεώδες I που παράγεται από τα r × r ελάσσονες κάποιου p × q πίνακα στοιχείων του S. Αν η κωδικομέτρηση (ή το ύψος) του I είναι ίση με την "αναμενόμενη" κωδικομέτρηση (p−r+1)(q−r+1), R, ο R ονομάζεται προσδιοριστικός δακτύλιος. Σε αυτή την περίπτωση, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ ^[4]. Ομοίως, οι δακτύλιοι συντεταγμένων των ντετερμινάντων ποικιλιών είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Μερικά επιπλέον παραδείγματα:

Ο δακτύλιος K[x]/(x²) έχει διάσταση 0 και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά δεν είναι αναγωγικός και επομένως δεν είναι κανονικός.
Ο υποδακτύλιος K[t², t³] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός του ή η συμπλήρωσή του στο t=0, είναι μια περιοχή 1 διάστασης η οποία είναι Γκόρενσταϊν και επομένως Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά όχι κανονική. Ο δακτύλιος αυτός μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ο δακτύλιος συντεταγμένων της κυβικής καμπύλης y² = x³ πάνω από το K.
Ο υποδακτύλιος K[t³, t⁴, t⁵] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός ή η ολοκλήρωσή του στο t=0, είναι ένα μονοδιάστατο πεδίο που είναι Κοέν-Μακόλεϊ αλλά όχι Γκόρενσταϊν.

Οι ρητές ιδιομορφίες πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Οι τορικές ποικιλίες πάνω από οποιοδήποτε πεδίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ.^[5] Το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου κάνει εμφανή χρήση των ποικιλιών με klt ^[6](Kawamata log terminal) ιδιομορφίες- σε χαρακτηριστικό μηδέν, αυτές είναι ρητές ιδιομορφίες και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ,^[7] Ένα επιτυχημένο ανάλογο των ορθολογικών ιδιομορφιών σε θετική χαρακτηριστική είναι η έννοια των F-ρητών ιδιομορφιών, και πάλι, τέτοιες ιδιομορφίες είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Έστω X μια προβολική ποικιλία διάστασης n ≥ 1 πάνω από ένα πεδίο, και έστω L μια ευρεία δέσμη γραμμών πάνω στο X. Τότε ο δακτύλιος τομής της L

R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})

είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ομάδα συνομολογίας Hⁱ(X, L^j) είναι μηδέν για όλα τα 1 ≤ i ≤ n−1 και όλους τους ακέραιους j.^[8] Επομένως, προκύπτει, ότι ο αφινικός κώνος Spec R πάνω από μια αβελιανή ποικιλία X' είναι Κοέν-Μακόλεϊ όταν η X έχει διάσταση 1, αλλά όχι όταν η X έχει διάσταση τουλάχιστον 2 (επειδή η H¹(X, O) δεν είναι μηδέν). Βλέπε επίσης Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ.

Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λέμε ότι ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα $X$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν σε κάθε σημείο $x\in X$ ο τοπικός δακτύλιος ${\mathcal {O}}_{X,x}$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των σχημάτων Κοέν-Μακόλεϊ, είναι όμως χρήσιμες για τη συμπύκνωση των χώρων moduli των καμπυλών ^[9] όπου το όριο του ομαλού χώρου ${\mathcal {M}}_{g}$ αποτελείται από καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ. Υπάρχει ένα χρήσιμο κριτήριο για να αποφασίσουμε αν οι καμπύλες είναι Κοέν-Μακόλεϊ ή όχι. Τα σχήματα διάστασης $\leq 1$ είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν δεν έχουν ενσωματωμένους πρώτους αριθμούς.^[10]. Οι ιδιομορφίες που υπάρχουν στις καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως εξετάζοντας την περίπτωση ττων επίπεδων καμπυλών.^[11]

Μη παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο, υπάρχουν εύκολα παραδείγματα καμπυλών μη Κοέν-Μακόλεϊ από την κατασκευή καμπυλών με ενσωματωμένα σημεία. Παραδείγματος χάριν, το σχήμα

X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)

έχει τη διάσπαση σε πρωταρχικά ιδεώδη $(x)\cdot (x,y)$ . Γεωμετρικά είναι ο άξονας $y$ με ένα ενσωματωμένο σημείο στην αρχή, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως παχύ σημείο. Δεδομένης μιας ομαλής προβολικής επίπεδης καμπύλης $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ , μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική: βρείτε το ιδεώδες $I_{x}$ ενός σημείου στο $x\in C$ και πολλαπλασιάστε το με το ιδεώδες $I_{C}$ του $C$ . Τότε

X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)

είναι μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο στο $x$ .

Θεωρία της διατομής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ έχουν μια ιδιαίτερη σχέση με τη θεωρία τομών. Έστω X μια ομαλή ποικιλία^[12] και V, W κλειστά υποσχήματα καθαρής διάστασης. Έστω Z μια κατάλληλη συνιστώσα της θεωρίας σχημάτων της τομής $V\times _{X}W$ , δηλαδή μια μη αναγώγιμη συνιστώσα αναμενόμενης διάστασης. Αν ο τοπικός δακτύλιος A του $V\times _{X}W$ στο γενικό σημείο του Z είναι Κοέν - Μακόλεϊ, τότε η πολλαπλότητα της τομής των V και W κατά μήκος του Z δίνεται ως το μήκος του A:^[13]

i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)

.

Γενικά, η πολλαπλότητα αυτή δίνεται ως μήκος και ουσιαστικά χαρακτηρίζει τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ, βλέπε #Ιδιότητες. Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα, από την άλλη πλευρά, χαρακτηρίζει κατά προσέγγιση έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο ως τοπικό δακτύλιο πολλαπλότητας ένα.

Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για ένα απλό παράδειγμα, αν πάρουμε την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία που εφάπτεται σε αυτήν, ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο τομής είναι ισομορφικός με

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}

το οποίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ μήκους δύο, άρα η πολλαπλότητα της τομής είναι δύο, όπως αναμενόταν.

Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει ένας αξιοσημείωτος χαρακτηρισμός των δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται θαυματουργή επιπεδότητα ή κριτήριο Χιρονάκα. Έστω R ένας τοπικός δακτύλιος που παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω σε κάποιον κανονικό τοπικό δακτύλιο A που περιέχεται στον R. Ένας τέτοιος υποδακτύλιος υπάρχει για κάθε τοπικοποίηση R σε ένα πρώτο ιδεώδες μιας πεπερασμένα παραγόμενης άλγεβρας πάνω σε ένα πεδίο, σύμφωνα με το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ- υπάρχει επίσης όταν ο R είναι πλήρης και περιέχει ένα πεδίο, ή όταν ο R είναι ένας πλήρης τομέας^[14]. Τότε ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι επίπεδος ως module A- είναι επίσης ισοδύναμο να πούμε ότι ο R είναι ελεύθερος ως moduleA^[15].

Μια γεωμετρική αναδιατύπωση έχει ως εξής. Έστω X ένα συνδεδεμένο αφινικό σχήμα πεπερασμένου τύπου πάνω από ένα πεδίο K (παραδείγματος χάριν, μια αφινική ποικιλία). Έστω n η διάσταση του X. Με την κανονικοποίηση της Νέτερ, υπάρχει ένας πεπερασμένος μορφισμός f από το X στον αφινικό χώρο Aⁿ πάνω από το K. Τότε το X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν όλες οι ίνες του f έχουν τον ίδιο βαθμό ^[16]. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η ιδιότητα είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του f.

Τέλος, υπάρχει μια εκδοχή της Θαυματουργής Επιπεδότητας (Miracle Flatness) για βαθμωτούς δακτυλίους. Έστω R μια πεπερασμένης παραγωγής αντιμεταθετική βαθμωτή άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο K,

R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .

Υπάρχει πάντα ένας βαθμωτός πολυωνυμικός υποδακτύλιος A ⊂ R (με γεννήτορες σε διάφορους βαθμούς), έτσι ώστε ο R να παράγεται πεπερασμένα ως A-module. Τότε το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το R είναι ελεύθερο ως διαβαθμισμένο A-μόριο. Και πάλι, προκύπτει ότι αυτή η ελευθερία είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του πολυωνυμικού υποδακτυλίου A.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ολοκλήρωσή του είναι Κοέν-Μακόλεϊ^[17].
Αν ο R είναι δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[x] και ο δακτύλιος δυναμοσειρών R[[x]] είναι Κοέν-Μακόλεϊ^[18]^[19]
Για έναν μη μηδενικό διαιρέτη u στο μέγιστο ιδεώδες ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου R, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν ο R/(u) είναι Κοέν-Μακόλεϊ^[20].
Το πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ με οποιοδήποτε ιδανικό είναι καθολικά κατιόν^[21].
Αν ο R είναι πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο τόπος { p ∈ Spec R | R_p είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Spec R.^[22]
Έστω (R, m, k) ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με συνδιάσταση ενσωμάτωσης c, που σημαίνει ότι c = dim_k(m/m²) − dim(R). Με γεωμετρικούς όρους, αυτό ισχύει για έναν τοπικό δακτύλιο ενός υποσχήματος συνδιαστάσεων c σε ένα κανονικό σχήμα. Για c=1, το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι δακτύλιος υπερεπιφάνειας. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα δομής για τους δακτυλίους Κοέν-Μακόλεϊ συνδιάστασης 2, το θεώρημα Χίλμπερτ-Burch: είναι όλοι προσδιοριστικοί δακτύλιοι, που ορίζονται από τα r × r ελάσσονες ενός (r+1) × rr πίνακα για κάποιο r.
Για έναν Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο (R, m), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:^[23]

Ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Για κάθε παραμετρικό ιδεώδες Q (ένα ιδανικό που παράγεται από ένα σύστημα παραμέτρων),
$\operatorname {length} (R/Q)=e(Q)$ := η πολλαπλότητα Χίλμπερτ-Σαμουέλ του Q.
Για κάποιο παραμετρικό ιδεώδες Q, length Q, $\operatorname {length} (R/Q)=e(Q)$ .

(Βλέπε Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ καθώς και δακτύλιος Μπούχσμπαουμ για δακτυλίους που γενικεύουν αυτόν τον χαρακτηρισμό).

Το θεώρημα της μη ανάμειξης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα ιδεώδες I ενός Ναιτεριανού δακτυλίου A ονομάζεται άμικτος σε ύψος αν το ύψος του I είναι ίσο με το ύψος κάθε σχετιζόμενου πρώτου P του A/I. (Αυτό είναι ισχυρότερο από το να λέμε ότι ο A/Iείναι ισοδιάστατος- βλ. παρακάτω).

Το θεώρημα του άμικτου λέγεται ότι ισχύει για τον δακτύλιο A αν κάθε ιδανικό I που παράγεται από αριθμό στοιχείων ίσο με το ύψος του είναι αμιγές. Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το θεώρημα μη ανάμειξης ισχύει γι' αυτόν^[24].

Το θεώρημα της μη-αναμείξεως ισχύει ιδίως για το μηδενικό ιδεώδες (ένα ιδεώδες που παράγεται από μηδενικά στοιχεία) και επομένως καθιστά δυνατό να πούμε ότι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας ισοδιάστατος δακτύλιος- στην πραγματικότητα, με την ισχυρή έννοια: δεν υπάρχει ολοκληρωμένη συνιστώσα και κάθε συνιστώσα έχει την ίδια συνδιάσταση.

Βλέπε επίσης: οιονεί μικτός δακτύλιος (ένας δακτύλιος στον οποίο το θεώρημα της μη μικτότητας ισχύει για το ολοκληρωτικό κλείσιμο ενός ιδεώδους).

Αντιπαραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[x,y]/(x²,xy) (ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας ευθείας με ενσωματωμένο σημείο) δεν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Αυτό προκύπτει, για παράδειγμα, από το (θαύμα επίπεδοτητα) Miracle Flatness: Ο R είναι πεπερασμένος πάνω στον πολυωνυμικό δακτύλιο A = K[y], με βαθμό 1 πάνω στα σημεία της αφινικής γραμμής Spec A με y ≠ 0, αλλά με βαθμό 2 πάνω στο σημείο y = 0 (επειδή ο K-διανυσματικός χώρος K[x]/(x²) έχει διάσταση 2).
Αν το K είναι ένα πεδίο, τότε ο δακτύλιος K[x,y,z]/(xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης μιας γραμμής και ενός επιπέδου) είναι μειωμένος, αλλά όχι ισοδιάστατος, και συνεπώς όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Παίρνοντας το πηλίκο από τον μη μηδενικό διαιρέτη x-z δίνει το προηγούμενο παράδειγμα.
Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης δύο επιπέδων που συναντώνται σε ένα σημείο) είναι μειωμένος και ισοδιάστατος, αλλά όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Για να το αποδείξουμε αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνδεσιμότητας του Χάρτσχορν: αν ο R είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ με διάσταση τουλάχιστον 2, τότε ο Spec R μείον το κλειστό του σημείο είναι συνδεδεμένος.^[25]

Δυαδικότητα Γκόρενσταϊν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια από τις έννοιες της συνθήκης Κοέν-Μακόλεϊ εμφανίζεται στη θεωρία της συνεκτικής δυαδικότητας. Μια ποικιλία ή ένα σχήμα X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το "σύμπλεγμα δυϊσμού", το οποίο βρίσκεται προφανώς στην παράγωγη κατηγορία των δεσμών πάνω στο X, αντιπροσωπεύεται από μια απλή στήλη. Η ισχυρότερη ιδιότητα του να είναι Γκόρενσταϊν σημαίνει ότι αυτή η δέσμη είναι μια δέσμη γραμμών. Ειδικότερα, κάθε κανονικό σχήμα είναι Γκόρενσταϊν. Έτσι, οι δηλώσεις των θεωρημάτων δυαδικότητας όπως η δυαδικότητα Σερ ή η τοπική δυαδικότητα Γκρόθεντιεκ για σχήματα Γκόρενσταϊν ή Κοέν-Μακόλεϊ διατηρούν κάποια από την απλότητα όσων συμβαίνουν για κανονικά σχήματα ή λείες ποικιλίες.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7
«On the structure and ideal theory of complete local rings», Transactions of the American Mathematical Society 59 (1): 54–106, 1946, doi:10.2307/1990313, ISSN 0002-9947 Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring".
V.I. Danilov (2001), «Cohen–Macaulay ring», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c022970
Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1
Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, 1993, doi:10.1515/9781400882526, ISBN 978-0-691-00049-7
Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4
Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, 1998, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3
Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, 2013, doi:10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8
The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, 1994, ISBN 1-4297-0441-1, http://projecteuclid.org/euclid.chmm/1263317740
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
«A survey of test ideals», Progress in Commutative Algebra 2, Berlin: Walter de Gruyter, 2012, σελ. 39–99

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Commutative Ring Theory
Rings Close to Regular
Modules over Commutative Regular Rings

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «Cohen-Macaulay rings - University of Utah, Math Department» (PDF).
↑ «Cohen-Macaulay rings and related homological dimensions - Graduate School of Mathematics, Nagoya University» (PDF).
↑ Bruns & Herzog, from def. 2.1.1
↑ Eisenbud (1995), Theorem 18.18.
↑ Fulton (1993), p. 89.
↑ Braun, Lukas (2021-12). «The local fundamental group of a Kawamata log terminal singularity is finite». Inventiones mathematicae 226 (3): 845–896. doi:10.1007/s00222-021-01062-0. ISSN 0020-9910. http://arxiv.org/abs/2004.00522.
↑ Kollár & Mori (1998), Theorems 5. 20 και 5.22.
↑ Kollár (2013), (3.4).
↑ Honsen, Morten. «Compactifying Locally Cohen–Macaulay Projective Curves» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 5 Μαρτίου 2020.
↑ «Lemma 31.4.4 (0BXG)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Ανακτήθηκε στις 5 Μαρτίου 2020.
↑ Wiegand, Roger (December 1991). «Curve singularities of finite Cohen–Macaulay type» (στα αγγλικά). Arkiv för Matematik 29 (1–2): 339–357. doi:10.1007/BF02384346. ISSN 0004-2080. Bibcode: 1991ArM....29..339W. https://projecteuclid.org/euclid.afm/1485898045.
↑ smoothness here is somehow extraneous and is used in part to make sense of a proper component.
↑ Fulton 1998, Proposition 8.2. (b)
↑ Bruns & Herzog, Theorem A.22.
↑ Eisenbud (1995), Corollary 18.17.
↑ Eisenbud (1995), Exercise 18.17.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.5.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.7.
↑ Matsumura (1989), Theorem 23.5.; NB: although the reference is somehow vague on whether a ring there is assumed to be local or not, the proof there does not need the ring to be local.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.3.(ii).
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.9.
↑ Matsumura (1989), Exercise 24.2.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.11.
↑ Matsumura (1989), Theorem 17.6.
↑ Eisenbud (1995), Theorem 18.12.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)

[1] «Cohen-Macaulay rings - University of Utah, Math Department» (PDF).

[2] «Cohen-Macaulay rings and related homological dimensions - Graduate School of Mathematics, Nagoya University» (PDF).

[3] Bruns & Herzog, from def. 2.1.1

[4] Eisenbud (1995), Theorem 18.18.

[5] Fulton (1993), p. 89.

[6] Braun, Lukas (2021-12). «The local fundamental group of a Kawamata log terminal singularity is finite». Inventiones mathematicae 226 (3): 845–896. doi:10.1007/s00222-021-01062-0. ISSN 0020-9910. http://arxiv.org/abs/2004.00522.

[7] Kollár & Mori (1998), Theorems 5. 20 και 5.22.

[8] Kollár (2013), (3.4).

[9] Honsen, Morten. «Compactifying Locally Cohen–Macaulay Projective Curves» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 5 Μαρτίου 2020.

[10] «Lemma 31.4.4 (0BXG)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Ανακτήθηκε στις 5 Μαρτίου 2020.

[11] Wiegand, Roger (December 1991). «Curve singularities of finite Cohen–Macaulay type» (στα αγγλικά). Arkiv för Matematik 29 (1–2): 339–357. doi:10.1007/BF02384346. ISSN 0004-2080. Bibcode: 1991ArM....29..339W. https://projecteuclid.org/euclid.afm/1485898045.

[12] smoothness here is somehow extraneous and is used in part to make sense of a proper component.

[13] Fulton 1998, Proposition 8.2. (b)

[14] Bruns & Herzog, Theorem A.22.

[15] Eisenbud (1995), Corollary 18.17.

[16] Eisenbud (1995), Exercise 18.17.

[17] Matsumura (1989), Theorem 17.5.

[18] Matsumura (1989), Theorem 17.7.

[19] Matsumura (1989), Theorem 23.5.; NB: although the reference is somehow vague on whether a ring there is assumed to be local or not, the proof there does not need the ring to be local.

[20] Matsumura (1989), Theorem 17.3.(ii).

[21] Matsumura (1989), Theorem 17.9.

[22] Matsumura (1989), Exercise 24.2.

[23] Matsumura (1989), Theorem 17.11.

[24] Matsumura (1989), Theorem 17.6.

[25] Eisenbud (1995), Theorem 18.12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]