Κρουστική συνάρτηση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Γραφική παράσταση της κρουστικής συνάρτησης.

Η κρουστική συνάρτησηγενικευμένη συνάρτηση του Ντιράκ) είναι μαθηματική περιγραφή κάποιας ποσότητας η οποία μεταβάλλεται σαν να μετέχει σε φαινόμενο κρούσης. Η μεταβλητή αυτή ποσότητα, αν ήταν φυσική, θα είχε ελάχιστη διακύμανση σε όλη τη διάρκεια του χρόνου πριν την κρούση, τη στιγμή της κρούσης θα αυξανόταν ακαριαία στη μέγιστη τιμή και αμέσως μετά θα έπαιρνε σχεδόν αμέσως την ελάχιστη τιμή διακύμανσης και πάλι.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση δέλτα συνήθως ορίζεται από τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

Η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ (κρουστική συνάρτηση) ως το όριο της ακολουθίας κανονικών κατανομών με κέντρο το μηδέν, όπου και το τείνει στο μηδέν.

και

Επειδή δεν είναι συνάρτηση με την συνηθισμένη έννοια, αλλά αποτελεί μέλος των γενικευμένων συναρτήσεων (ή κατανομών), ακολουθεί ένας αυστηρότερος ορισμός.

Ως κατανομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω η καλή συνάρτηση[σ 1]:

Από την θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων είναι γνωστό πως μια γενικευμένη συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως μια ακολουθία καλών συναρτήσεων , έτσι ώστε για κάθε καλή συνάρτηση , το όριο

υπάρχει.

Έτσι, η παραπάνω ακολουθία συναρτήσεων ορίζει την κατανομή Ντιράκ , γνωστή και ως κρουστική συνάρτηση.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δράση επί καλής συνάρτησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω η καλή συνάρτηση , τότε:


Αυτό φαίνεται εύκολα ακολούθως:[2]

Δράση επί αρκετά καλής συνάρτησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω η αρκετά καλή συνάρτηση [σ 2] , τότε:


Αυτό φαίνεται εύκολα ακολούθως:

Συνάρτηση βήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω η ακόλουθη «συνάρτηση βήματος»:

Έστω τώρα η κατανομή (ή γενικευμένη συνάρτηση) με τοπικές τιμές[σ 3] και για και αντίστοιχα, δηλαδή:

Τότε, για μια καλή συνάρτηση έχουμε:


Οπότε, βάσει της πρώτης ιδιότητας της παίρνουμε:

Μετασχηματισμός Φουριέ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γνωρίζουμε πως ο μετασχηματισμός Φουριέ μιας συνάρτησης δίνεται από το ολοκλήρωμα:

Συνεπώς για την συνάρτηση , βάσει της πρώτης ιδιότητας έχουμε:

Από το παραπάνω αποτέλεσμα προκύπτουν και οι ακόλουθες σχέσεις:

  • , για

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μοντέλα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κρουστική συνάρτηση είναι ένα μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη φαινομένων στα οποία κάποια μεγέθη γίνονται πολύ μεγάλα για πολύ λίγο χρόνο. Ένα φυσικό παράδειγμα είναι η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν ανοικτό διακόπτη, όταν εμφανίζεται σπινθήρας. Άλλο φυσικό παράδειγμα είναι η δύναμη σε σκληρό επίπεδο πάτωμα από μια μπάλα του μπιλιάρδου που αναπηδά σε αυτό.

Σύστημα υπό μελέτη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κρουστική συνάρτηση είναι η είσοδος ενός συστήματος όταν θέλουμε να μελετήσουμε την κρουστική του απόκριση. Η έξοδος ενός συστήματος που δέχεται ως είσοδο την κρουστική συνάρτηση είναι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος.

Κβαντική μηχανική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα στην μη σχετικιστική κβαντική μηχανική είναι αυτό της κίνησης ενός σωματιδίου σε ένα πηγάδι δυναμικού δέλτα.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Ως καλή συνάρτηση (good function) ορίζεται αυτή που είναι παραγωγίσιμη παντού και οι παράγωγοί της μηδενίζονται καθώς το τείνει στο άπειρο, γρηγορότερα από οποιαδήποτε δύναμη του .[1]
  2. Ως αρκετά καλή συνάρτηση (fairly good function) ορίζεται αυτή που είναι διαφορίσιμη παντού και της οποίας υπάρχουν όλες οι παραγώγοι ανεξαρτήτως βαθμού. Επίσης θα πρέπει το απόλυτο μέτρο (modulus) της και αυτό των παραγώγων της αυξάνεται ανάλογα με κάποια δύναμη του , καθώς το τείνει στο άπειρο.
  3. Όπως διαβάζουμε στον Dennery [1], μερικές φορές μια από τις ισοδύναμες ακολουθίες συναρτήσεων που ορίζουν μια κατανομή, μπορεί να συγκλίνουν ομοιόμορφα σε μια κοινή συνάρτηση στην γειτονιά ενός σημείου . Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο θα λέγεται κανονικό σημείο (regular point) της γενικευμένης συνάρτησης και το όριο της αντίστοιχης ακολουθίας στο θα λέγεται τοπική τιμή της γενικευμένης συνάρτησης σ'αυτό το σημείο.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 Dennery 1996, §13.2
  2. Dennery 1996, §13.5