Σύμβολο μετάθεσης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσηςμετάταξης, επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύμβολο μετάθεσης συναντάται κυρίως στις τρεις, στις τέσσερις και σε κάποιο βαθμό στις δύο διαστάσεις. Ωστόσο, ο ορισμός του συμβόλου μετάθεσης γενικεύεται για οποιαδήποτε διάσταση.

Δύο διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το διδιάστατο σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

Οι τιμές μπορούν να διαταχθούν σε έναν 2 × 2 αντισυμμετρικό πίνακα:

Η χρήση του διδιάστατου συμβόλου είναι σχετικά ασυνήθιστη, παρόλα αυτά, σε ορισμένες εξεζητημένες περιοχές όπως η υπερσυμμετρία[1] και στη θεωρία twistor[2] εμφανίζεται στο πλαίσιο των 2-σπινόρων. Τα σύμβολα Levi-Civita χρησιμοποιούνται ευρύτερα στις τρεις ή περισσότερες διαστάσεις.


Τρεις διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης εijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση (ή μετάταξη) των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάταξης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

Κατ' αναλογία με τους πίνακες δύο διαστάσεων, οι τιμές του τριδιάστατου συμβόλου Levi-Civita μπορούν να παρασταθούν σε μια διάταξη 3 × 3 × 3:

Epsilontensor.svg

όπου i είναι το βάθος (μπλε, i=1; κόκκινο, i=2; πράσινο, i=3), j η σειρά and k η στήλη.

Μερικά παραδείγματα:

Τέσσερις διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις τέσσερις διαστάσεις, το σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

Αυτές οι τιμές μπορούν να παρασταθούν σε μια 4 × 4 × 4 × 4 διάταξη, παρόλα αυτά στις 4 ή ανώτερες διαστάσεις, αυτό δύσκολα μπορεί να σχεδιαστεί.

Μερικά παραδείγματα:

Γενίκευση στις n διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύμβολο μετάθεσης Levi-Civita μπορεί να γενικευθεί στις n διαστάσεις:[3]

Έτσι, πρόκειται για το πρόσημο της μετάθεσης, στη περίπτωση της μετάθεσης και μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση.

Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του πολλαπλασιασμού για το συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών, μπορεί να διατυπωθεί μια πολύ σαφής έκφραση:

όπου το γινόμενο είναι συνολικά αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και το σύμβολο sgn υποδηλώνει τη συνάρτηση προσήμου, η οποία εξάγει το πρόσημο κάθε διαφοράς, απορρίπτοντας τις απόλυτες τιμές. Ο τύπος ισχύει για κάθε τιμή δείκτη και για κάθε n (όταν n = 0 ή 1, τότε πρόκειται για το "άδειο" γινόμενο (empty product). Ωστόσο, το να υπολογίσει κανείς αφελώς την παραπάνω έκφραση, απαιτείται χρονική πολυπλοκότητα τάξης O(n2), ενώ, χρησιμοποιώντας διακριτούς κύκλους μετάθεσης (disjoint cycles), απαιτείται ένα κόστος τάξης μόλις O(n log(n)).

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διανυσματικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a1,a2,a3) και Β=(b1,b2,b3) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

όπου (e1,e2,e3) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c1,c2,c3)) τότε:

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol». http://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html. 

  1. Labelle, P. (2010). Supersymmetry. Demystified. McGraw-Hill, σελ. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4. 
  2. Hadrovich, F.. «Twistor Primer». http://users.ox.ac.uk/~tweb/00004/index.shtml. Ανακτήθηκε στις 2013-09-03. 
  3. Kay, D. C. (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.