Μετάβαση στο περιεχόμενο

Ανισότητα Ποποβίτσιου για τη Διακύμανση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Ποποβίτσιου (αναφέρεται και ως ανισότητα Popoviciu) αφορά μία οποιαδήποτε πραγματική τυχαία μεταβλητή η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα , και λέει ότι η διακύμανσή της φράζεται ως[1]

.

Έστω η αναμενόμενη τιμή της . Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή η οποία έχει και .

Επίσης, ισχύει ότι η είναι φραγμένη ως εξής . Επομένως, και και συνεπώς

.

Επεκτείνοντας το δεξί μέλος, από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

.

 

 

 

 

(1)

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για δύο μεταβλητές δίνει ότι

.

Για και , λαμβάνουμε ότι

.

Συνδυάζοντας με την (1), έχουμε την ζητούμενη ανισότητα

.

Η ανισότητα ισχύει για ισότητα όταν .


Η ανισότητα αυτή αναφέρεται στην εργασία του Τιβέριου Ποποβίτσιου το 1935.[1] Έκτοτε διάφορες παραλλαγές και γενικεύσεις έχουν παρουσιαστεί.[2][3][4][5][6][7]

Η εργασία του Γκραςς δίνει την εξής γενίκευση για δύο τυχαίες μεταβλητές και ,[8]

όπου είναι η συνδιακύμανση των και . Για , λαμβάνουμε την ανισότητα Ποποβίτσιου.

Ο Μπάτια και ο Ντέιβις παρουσίασαν την εξής γενίκευση[9]

,

η οποία προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.

  1. 1,0 1,1 Popoviciu, T. (1935). «Sur les équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles». Mathematica (Cluj) 9: 129–145. 
  2. Lim, Tongseok; McCann, Robert J. (2022). «Geometrical Bounds for Variance and Recentered Moments». Mathematics of Operations Research 47 (1): 286–296. doi:https://doi.org/10.1287/moor.2021.1125. 
  3. Sharma, Rajesh; Gupta, M.; Kapoor, G. (2010). «Some better bounds on the variance with applications». Journal of Mathematical Inequalities (3): 355–363. doi:dx.doi.org/10.7153/jmi-04-32. 
  4. Egozcue, Martín; García, Luis Fuentes (2018). «The variance upper bound for a mixed random variable». Communications in Statistics - Theory and Methods 47 (22): 5391–9395. doi:https://doi.org/10.1080/03610926.2017.1390136. 
  5. Jacobson, Harold I. (1969). «The Maximum Variance of Restricted Unimodal Distributions». The Annals of Mathematical Statistics 40 (5): 1746–1752. doi:10.1214/aoms/1177697386. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1969-10_40_5/page/1746. 
  6. Gray, H. L.; Odell, P. L. (1967). «On Least Favorable Density Functions». SIAM Review 9 (4): 715–720. doi:https://doi.org/10.1137/1009112. 
  7. Abouammoh, A. M.; Mashhour, A. F. (1994). «Variance upper bounds and convolutions of α-unimodal distributions». Statistics & Probability Letters 21 (4): 281–289. doi:https://doi.org/10.1016/0167-7152(94)00017-4. 
  8. Grüss, G.; García, Luis Fuentes (1935). «Über das maximum des absoluten Betrages von». Mathematische Zeitschrift 39 (1): 215–26. 
  9. Bhatia, Rajendra; Davis, Chandler (April 2000). «A Better Bound on the Variance». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 107 (4): 353–357. doi:10.2307/2589180. ISSN 0002-9890. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2000-04_107_4/page/353.