Στα μαθηματικά, η ανισότητα Νέσμπιττ αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς
και λέει ότι[1][2]:117-118[3]:84[4]
![{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8cddcaf162a1509f22053e879df555a0c28ab1)
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν
.
Αποδείξεις
Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί.[5][6]:21
Με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
Θεωρούμε
,
και
. Τότε, έχουμε ότι
,
, και
.
Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {y+z-x}{x}}+{\frac {x+z-y}{y}}+{\frac {x+y-z}{z}}\right)\geq {\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc0a840f89541d9d72285b6a85f3c9c86f96159)
Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {z}{x}}-1+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}-1+{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{z}}-1\geq 3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34f67c2c24c4386f5003c4b287cd7a7cfe0f126)
η οποία είναι ισοδύναμη με την
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c34fe0ba7b72ef7749fe8d08d72c47a6493d92)
Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για
όρους,
.
Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για
όρους
για οποιοδήποτε
.
Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν
, που είναι ισοδύναμο με
.
Με ανισότητα Τζένσεν
Έστω
το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως
![{\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq {\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e96fdd8436c12d2229c45268b77a4090c99f90)
Θεωρούμε την συνάρτηση
,
![{\displaystyle f(x)={\frac {x}{S-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84307569059d93dca3d3328ffd4f4dd646e4888)
Η
είναι κυρτή στο διάστημα
καθώς
και
για κάθε
.
Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Τζένσεν για την
και τους
![{\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)\geq 3\cdot f\left({\frac {a+b+c}{3}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f414db6a8db5f83cb3f24424ced9ded21fdc5e8)
η οποία είναι ισοδύναμη με
![{\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq 3\cdot {\frac {S/3}{S-S/3}}={\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f4d9388b9cf949ac7f05a700a6076c27d4a759)
Από την ανισότητα Τζένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν
.
Με ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς
Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς,
![{\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\cdot \left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\geq \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff66385a2ccc4cbcb684004f2cd6551854e15ac2)
Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε
και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη
![{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {b+a+c}{a+c}}+{\frac {c+a+b}{a+b}}\geq {\frac {9}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88685ac61519400f59e51d85a9a45e744a2865f)
Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε
![{\displaystyle \left(a+b+c\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq {\frac {9}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4833a85303dadcfc1ed5845283026b7778eed1)
που είναι επίσης ισοδύναμη με
![{\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(a+c)\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)\geq 9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f5c1a5b2b32f0dcaa02e09ecf1bef5b6d98cdb)
|
|
(1)
|
Θέτοντας
,
,
και
,
,
στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα.
![{\displaystyle \left(\left({\sqrt {a+b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b+c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {a+c}}\right)^{2}\right)\cdot \left(\left({\frac {1}{\sqrt {a+b}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {b+c}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {a+c}}}\right)^{2}\right)\geq \left(1+1+1\right)^{2}=9.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9c75131055a74b23ca34e4cdd7ed1d334c5a12)
Με ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου
Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την (1 χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς
,
και
. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε
![{\displaystyle {\frac {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a69fe20f9ccc66bc5e8eada89315cc56d145792)
Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε
![{\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(c+a)\right)\cdot \left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}\right)\geq 9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c8d52ced4292648fe7a485ed8c28f5dfb2e5ea)
η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ.
Με ανισότητα της αναδιάταξης
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα
μπορούμε να θεωρήσουμε ότι
, και επομένως έχουμε ότι
και ότι
![{\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d878c447b71da9f28063843ae4be09eb5f68a9dd)
Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι
![{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {a}{a+b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85813a79e63891fb0cbe4edac18e767ddba64df2)
και
![{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{a+b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c17334f8ec73d632be2fb05e75c1aec62c8dbcb)
Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε
![{\displaystyle 2\cdot \left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {b+c}{b+c}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {a+b}{a+b}}=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6783342637b8b7c462a931e2fa5ae721168f55b)
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ.
Ιστορία
Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.[1]
Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα
αριθμών
[7]:440-443
![{\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{1}+x_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd921414ff891d277fd98950ce68a6953cfdd5a7)
Παραπομπές
- ↑ 1,0 1,1 Nesbitt, A. M. (1902). «Problem 15114». Educational Times 55. https://archive.org/details/educationaltimes55educ/page/232/mode/2up.
- ↑ Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.
- ↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.
- ↑ Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.
- ↑ Ψύχας, Βαγγέλης. «Ανισότητες Ι: Βασικές Ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
- ↑ Στεργίου, Μπάμπης. «Μαθηματικοί Διαγωνισμοί: Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
- ↑ Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.