Τετραγωνική ρίζα

Στα μαθηματικά η τετραγωνική ρίζα (ή δευτέρα ρίζα) ενός μη αρνητικού αριθμού α είναι ο μη αρνητικός αριθμός β, αν $\beta ^{2}=\alpha$. Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α συμβολίζεται με ${\sqrt {\alpha }}$, το σύμβολο ${\sqrt {}}$ λέγεται ριζικό, ο αριθμός α υπόρριζο και γράφεται ${\sqrt {\alpha }}=\beta$ εάν $\beta ^{2}=\alpha$. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε ότι δεν είναι ρητός. Επιπλέον, η ιδέα της τετραγωνικής ρίζας έχει επεκταθεί σε όλους τους αριθμούς, αν και ο αυστηρός ορισμός της την περιορίζει στους θετικούς. Αποτελεί ρίζα του τετραγώνου, δηλαδή της εξίσωσης $x^{2}=\alpha$ (το x² ονομάζεται δεύτερη δύναμη του x, ή τετράγωνο του x, γιατί παραπέμπει στον τύπο εμβαδού του τετραγώνου).

Ιστορία

Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι πιθανόν ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς να είναι ρητός. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασσο, ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό για αυτήν την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος, η ανακάλυψη του Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οι Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο να περιγράφουν άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή:

${\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}$

Οι μαθηματικοί κατά την Αλεξανδρινή εποχή ασχολήθηκαν με τις τετραγωνικές ρίζες, αλλά σύντομα συμπεριέλαβαν στη μελέτη τους και τις κυβικές.

Ο συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας άρχισε να χρησιμοποιείται το 1525 από τον Christoff Rudolf. Από τότε, ο συμβολισμός έχει επεκταθεί και για τις υπόλοιπες νιοστές ρίζες, με τη διαφορά ότι πάνω αριστερά αναγράφεται το ν.

Η τετραγωνική ρίζα εμφανίζεται στους τύπους επίλυσης δευτεροβάθμιων, τριτοβάθμιων και τεταρτοβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων. Οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν υπό την προϋπόθεση ότι τα υπόρριζα είναι θετικά. Ωστόσο, μερικοί τύποι ισχύουν αν κάποιες ρίζες αντικατασταθούν από λύσεις τις εξίσωσης $x^{2}=\alpha$, όπου α το υπόρριζο. Αυτή η διαπίστωση οδήγησε στη θεώρηση των μιγαδικών αριθμών. Το βασικό στοιχείο τους i είναι λύση της εξίσωσης $x^{2}=-1$. Συχνά το i αποκαλείται τετραγωνική ρίζα του -1, αλλά αυτή η έκφραση δεν είναι σωστή από αυστηρή μαθηματική άποψη, γιατί το i δεν είναι πραγματικός αριθμός.

Ιδιότητες

Επειδή το γινόμενο δύο μη αρνητικών αριθμών είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός, η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς.

Η τετραγωνική ρίζα του α είναι εξ ορισμού ίδια με την ½ δύναμη του α, δηλαδή για κάθε $\alpha \geq 0$ ισχύει ${\sqrt {\alpha }}\equiv \alpha ^{\frac {1}{2}}$

Η τετραγωνική ρίζα είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης $x^{2}=\alpha$, αν και μόνο αν α=0 (ωστόσο έχει αποδειχθεί ότι μπορούν να οριστούν αριθμοί τέτοιοι, ώστε και στην περίπτωση που α=0 να υπάρχουν παραπάνω από μία λύσεις). Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει πάντα και άλλη μία λύση. Στους μιγαδικούς αριθμούς η εξίσωση πάντα έχει λύση, ίσως υπάρχουν πολλές λύσεις ή καμία από αυτές δεν είναι τετραγωνική ρίζα. Ωστόσο, ισχύει:

$x^{2}=\alpha \Rightarrow |x|={\sqrt {|\alpha |}}$

Η συνάρτηση τετραγωνική ρίζα

Η συνάρτηση $f(x)={\sqrt {x}}$ καλείται τετραγωνική ρίζα. Η γραφική της παράστασης είναι το άνω τμήμα της παραβολής με διευθετούσα την ευθεία $x=-{\frac {1}{2}}$ και εστία το σημείο $\left({\frac {1}{2}},0\right)$.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης της τετραγωνικής ρίζας

Πεδίο ορισμού

Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας πεδίο ορισμού είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και το 0.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η τετραγωνική ρίζα είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, ενώ είναι παραγωγίσιμη σε όλους τους θετικούς αριθμούς (στο 0 η παράγωγος τείνει στο $+\infty$ από τα δεξιά.) Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει $({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$, ενώ για τη νιοστή παράγωγο $({\sqrt {x}})^{(\nu )}={\frac {(-1)^{\nu -1}\cdot \prod _{i=1}^{\nu }(2i-1)}{2^{\nu }x^{\nu -1}{\sqrt {x}}}}$.

Μονοτονία-Κοιλοκυρτότητα

Η τετραγωνική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

Η τετραγωνική ρίζα έχει μόνο ένα ελάχιστο 0 στο 0. Δεν υπάρχει ασύμπτωση, αν και η παράγωγός της τείνει στο 0.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Το σύνολο τιμών της τετραγωνικής ρίζας είναι όλοι οι θετικοί αριθμοί και το 0, είναι ίσο με το πεδίο ορισμού. Η τετραγωνική ρίζα δεν έχει παράμετρο, άρα όλες τις οι τιμές είναι συγκεκριμένες. Σε σχέση με τις άλλες νιοστές ρίζες, όλες τους ξεκινάνε από το (0,0).

Σύνοψη μεταβολών της τετραγωνικής ρίζας

Η τετραγωνική ρίζα ορίζεται στους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, είναι συνεχής, παραγωγίσιμη εκτός του 0 και κάθε παράγωγός της παραγωγίσιμη. Είναι κοίλη συνάρτηση και γνησίως αύξουσα. Παρουσιάζει ελάχιστο το (0,0), δεν έχει ασύμπτωτες.

Δείτε επίσης

• $\nu$-οστή ρίζα πραγματικού αριθμού
• Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 2
• Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 5

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Μαραγκάκης, Στυλιανός; Τριανταφύλλου, Ανδρέας (Ιούλιος 2020). «Μέθοδοι υπολογισμού τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών». Ευκλείδης Α΄ (117): 14-18. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-04-16. https://web.archive.org/web/20230416174216/http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_117_EYKLEIDHS_2020.pdf. Ανακτήθηκε στις 2023-10-15. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Jackson, Terence (Ιουλίου 2011). «95.42 Irrational square roots of natural numbers — a geometrical approach». The Mathematical Gazette 95 (533): 327–330. doi:10.1017/S0025557200003193. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-07_95_533/page/327. 
• Brown, L. M. (Νοεμβρίου 1997). «81.41 An algorithm for square roots : an episode in the campaign against dotage». The Mathematical Gazette 81 (492): 428–429. doi:10.2307/3619622. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1997-11_81_492/page/428. 
• Maynard, Philip; Zhou, Yinghui (Μαρτίου 2004). «88.12 Rationally Approximating Square Roots». The Mathematical Gazette 88 (511): 112-114. https://www.jstor.org/stable/3621354. 
• Anderson, D. V. (Νοεμβρίου 1996). «80.49 Iterations for the square root». The Mathematical Gazette 80 (489): 574–575. doi:10.2307/3618531. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1996-11_80_489/page/574. 
• Austin, A. K. (Ιουνίου 1971). «3302. On square roots». The Mathematical Gazette 55 (393): 326–326. doi:10.2307/3615031. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1971-06_55_393/page/326.