Χρήστης:Stavroyla/πρόχειρο

Παράγωγος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Αυτό το άρθρο αφορά τον όρο που χρησιμοποιείται στο λογισμό.Για μια λιγότερο τεχνική επισκόπηση του θέματος, δείτε διαφορικός λογισμός.Για άλλες χρήσεις, δείτε Παράγωγος (αποσαφήνιση).

Η παράγωγος στη μαθηματική ανάλυση είναι ένα μέτρο που δείχνει πως μεταβάλετε η τιμή της συνάρτησης (μια ή εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία προσδιορίζεται από μια άλλη ποσότητα (η ανεξάρτητη μεταβλητή).Είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο του λογισμού.Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ενός κινητού αντικειμένου σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα του αντικειμένου: η οποία μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η θέση του αντικειμένου όταν ο χρόνος προχωρήσει.Η παράγωγος μετρά τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, όπως διακρίνεται από τον μέσο ρυθμό μεταβολής, και ορίζεται ως το όριο του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης όπου το μήκος του διαστήματος που ορίζεται ο μέσος όρος τείνει στο μηδέν.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης με επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή τιμή εισόδου.H παράγωγος σε ένα σημείο της συνάρτησης μιας μεταβλητής είναι η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο αυτό.

Η έννοια της παραγώγου μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών πραγματικών μεταβλητών. Η παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που ονομάζεται διαφορικός πίνακας. Του πίνακα η αναπαράσταση είναι ένας Ιακωβιανός πίνακας, ο οποίος μειώνει την κλίση του διανύσματος στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αντιπαραγώγιση. Το Θεμελίωδες Θεώρημα του λογισμού αναφέρει ότι η αντιπαραγώγιση είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα. Παραγώγιση και ολοκλήρωση αποτελούν δυο βασικές λειτουργίες στο λογισμό.

Παραγώγιση και παράγωγος

Η παραγώγιση είναι η μέθοδος για τον υπολογισμό της παραγώγου. Η παράγωγος μιας συνάρτησης f(x) με μεταβλητή x είναι ένα μέγεθος βαθμού με το οποίο η τιμή της συνάρτησης αλλάζει σε σχέση με τη μεταβολή της μεταβλητής. Αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x. Αν το x και το y είναι πραγματικοί αριθμοί, και αν σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f συναρτήσει του x, η παράγωγος είναι η κλίση του γραφήματος σε κάθε σημείο.

Η απλούστερη περίπτωση, εκτός από την περίπτωση της σταθερής συνάρτησης, είναι όταν το y είναι γραμμική συνάρτηση του x, που σημαίνει ότι το γράφημα του y συναρτήσει του x είναι ευθεία γραμμή. Στην περίπτωση αυτή, y=f(x)=mx + b, για πραγματικούς αριθμούς m και b, και η κλίση m δίνεται από τη σχέση

όπου το σύμβολο Δ (Δέλτα) είναι συντομογραφία της "μεταβολής". Ο τύπος αυτός ισχύει αφού

και από αυτό έχουμε ότι Δy=m Δx.

Αυτό δίνει ακριβή τιμή για την κλίση μιας γραμμής. Αν η συνάρτηση f δεν είναι γραμμική (δηλαδή η γραφική της παράσταση δεν είναι ευθεία) τότε η αλλαγή του y σε σχέση με την αλλαγή του x ποικίλει: η παραγώγιση είναι μια μέθοδος της ακριβούς τιμής του βαθμού αλλαγής για οποιοδήποτε δοθέν τιμή του x.

Η ιδέα που απεικονίζεται στα Σχήματα 1 έως 3, είναι να υπολογιστεί ο βαθμός της μεταβολής ως η οριακή τιμή του λόγου Δy/Δx καθώς το Δx γίνεται άπειρα μικρό.

Σημειογραφία

Δυο ξεχωριστές σημειογραφίες που χρησιμοποιούνται συνήθως για την παράγωγο, η μια απορρέει από τον Leibniz και η άλλη από τον Joseph Louis Lagrange.

Στη σημειογραφία του Leibniz, μια απειροελάχιστη αλλαγή στο x συμβολίζεται με dx, και η παράγωγος του y σε συνάρτηση με το x γράφεται

συμβολίζοντας τον λόγο των δυο απειροελάχιστα μικρών ποσοτήτων.(Η παραπάνω έκφραση διαβάζεται ως "η παράγωγος του y σε συνάρτηση με το x", "dy από dx", ή "dy πέρα dx". Η προφορική μορφή "dy dx" συχνά χρησιμοποιείται conversationally, αλλά μπορεί να οδηγήσει σε σύγχυση.)

Στη σημειογραφία του Lagrange, η παράγωγος της συνάρτησης f(x) σε συνάρτηση με το x συμβολίζεται f '(x) (διαβάζεται "f τόνος του x") ή f_x'(x) (διαβάζεται "f τόνος x του x"), σε περίπτωση ασάφειας συνεπάγεται η παράγωγος της μεταβλητής. Η σημειογραφία του Lagrange μερικές φορές αποδίδεται λανθασμένα στον Newton.

Ορισμός μέσω διηρημένων διαφορών

Η πιο συνηθισμένη προσέγγιση για τον σαφή ορισμό αυτής της διαισθητικής ιδέας, είναι να ορίσουμε την παράγωγο ως το όριο της διαφοράς πηλίκο των πραγματικών αριθμών.Αυτή η προσέγγιση περιγράφεται παρακάτω.

Έστω μια πραγματική συνάρτηση f συναρτήσει ενός πραγματικού αριθμού a που ορίζεται σε ένα ανοιχτό διάστημα.Στην κλασική γεωμετρία, η εφαπτομένη γραμμή του γραφήματος της συνάρτησης f στο a είναι η μοναδική γραμμή που περνά από το σημείο (a,f(a)) και δεν συναντά το γράφημα της f εγκάρσια, που σημαίνει ότι η γραμμή δεν περνά μέσα από το γράφημα. Η παράγωγος του y σε σχέση με το x στο σημείο a, γεωμετρικά είναι η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της f στο σημείο (a,f(a)).Η κλίση της εφαπτομένης είναι πολύ κοντά στην κλίση της γραμμής που περνάει από το (a,f(a)) και από ένα κοντινό σημείο σε αυτό (δηλαδή στο (a,f(a))) του γραφήματος, για παράδειγμα το (a+h,f(a+h)).Αυτή η γραμμή ονομάζεται τέμνουσα.Όσο η τιμή του h είναι πιο κοντά στο μηδέν δίνει καλύτερη προσέγγιση στην κλίση της εφαπτόμενης γραμμής, και οι μικρότερες τιμές (κατά απόλυτη τιμή) του h, γενικά, δίνουν καλύτερη προσέγγιση.Η κλίση m της τέμνουσας είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της y διαιρούμενη με τη διαφορά των τιμών του x, δηλαδή,

Αυτή η έκφραση είναι η διηρημένη διαφορά του Newton. Περνώντας από μια προσέγγιση σε μια ακριβή απάντηση επιτυγχάνεται με τη χρήση του ορίου.Γεωμετρικά το όριο της τέμνουσας είναι η εφαπτομένη.Ως εκ τούτου, το όριο της διηρημένης διαφοράς ως προς το h το οποίο τείνει στο μηδέν, αν υπάρχει, πρέπει να αντιπροσωπεύει την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο (a,f(a)).Το όριο αυτό ορίζεται να είναι η παράγωγος της f στο a:

Όταν το όριο υπάρχει, η f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο a. Εδώ το f '(a) είναι ένας από τους κοινούς συμβολισμούς για την παράγωγο.

Ισοδύναμα, η παράγωγος ικανοποιεί την ιδιότητα

η οποία έχει την ερμηνεία (δείτε Σχήμα 1) ότι η εφαπτομένη της f στο a δίνει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση.

της f στο a (π.χ. για μικρές τιμές του h).Η ερμηνεία αυτή είναι η πιο εύκολη για γενίκευση.

Αντικαθιστώντας με 0 το h στη διηρημένη διαφορά θα είχαμε διαίρεση με το μηδέν, έτσι η κλίση της εφαπτομένης δε μπορεί να βρεθεί άμεσα χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο.Αντί αυτού, ορίζεται η Q(h) ως η διηρημένη διαφορά συναρτήσει του h:

Q(h) είναι η κλίση της τέμνουσας μεταξύ (a,f(a)) και (a+h,f(a+h)). Aν f είναι συνεχής συνάρτηση,πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση δεν διακόπτεται και δεν έχει κενά, τότε και η Q είναι συνεχής συνάρτηση μακριά από το h=0. Αν το όριο υπάρχει, που σημαίνει ότι υπάρχει τρόπος επιλογής τιμής για το Q(0) επομένως Q είναι συνεχής συνάρτηση, τότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο a και η παράγωγός της ισούται με το Q(0).

Στην πράξη, η ύπαρξη μιας συνεχούς επέκτασης της διηρημένης διαφοράς Q(h) στο h=0 προκύπτει από την αλλαγή του αριθμητή ώστε να απαλειφθεί το h του παρονομαστή. Τέτοιοι χειρισμοί μπορεί να κάνουν την οριακή τιμή της Q ξεκάθαρη για μικρές τιμές του h ακόμη και αν η Q δεν ορίζεται στο h=0. Αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι τεράστια και κουραστική για πολύπλοκες συναρτήσεις, και γίνονται πολλές συντομεύσεις για να απλοποιηθεί η διαδικασία.

Παράδειγμα

Η συνάρτηση τετραγωνισμού f(x)=x² είναι παραγωγίσιμη στο x=3, και η παράγωγός της (στο x=3) είναι ίση με 6. Το αποτέλεσμα αυτό βγαίνει με τον υπολογισμό του ορίου, με το h να τείνει στο μηδέν της διαφοράς πηλίκο f(3):

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η διηρημένη διαφορά ισούται με 6 + h όταν το h είναι διάφορο του μηδενός και είναι απροσδιόριστο όταν h=0, λόγω του ορισμού της διηρημένης διαφοράς. Παρόλ' αυτά ο ορισμός του ορίου επισημαίνει ότι η διηρημένη διαφορά δε χρειάζεται να προσδιοριστεί όταν h=0.Το όριο είναι το αποτέλεσμα καθώς το h τείνει στο 0, που σημαίνει ότι η τιμή είναι 6 + h καθώς το h τείνει να γίνει αρκετά μικρό:

Η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης τετραγωνισμού στο σημείο (3,9) είναι 6, κι έτσι η παράγωγός της στο x=3 είναι f '(3)=6.

Γενικότερα, με παρόμοιο τρόπο υπολογισμού έχουμε ότι η παράγωγος της τετραγωνικής συνάρτησης στο x=a είναι f′(a) = 2a.

Συνέχεια και παραγωγισιμότητα

Αν y=f(x) είναι παραγωγίσιμη στο a, τότε η f πρέπει να είναι συνεχής στο a. Για παράδειγμα, επιλέγουμε ένα σημείο a και f μια δίτιμη συνάρτηση που επιστρέφει την τιμή, ας πούμε 1, για όλα τα x μικρότερα του a, και επιστρέφει μια διαφορετική τιμή, ας πούμε 10, για όλα εκείνα τα x που είναι μικρότερα ή ίσα με το a. Η f δεν έχει παράγωγο στο a. Αν το h είναι αρνητικό, τότε το a + h είναι στο χαμηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στο a + h είναι απότομη, και αν το h τείνει στο μηδέν η κλίση τείνει στο άπειρο. Αν το h είναι θετικό, τότε το a + h είναι στο υψηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στο a + h έχει μηδενική κλίση.Κατά συνέπεια οι τέμνουσες ευθείες δεν απευθύνονται σε οποιαδήποτε κλίση, καθώς το όριο της διηρημένης διαφοράς δεν υπάρχει.

Ωστόσο, ακόμη και αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση της απολύτου τιμής συναρτήσει του x είναι συνεχής στο x=0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί. Αν το h είναι θετικό, η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στο h είναι ένα, ενώ αν το h είναι αρνητικό, τότε η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στο h είναι μείον ένα. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείο x=0. Ακόμα μια συνάρτηση με ομαλή γραφική παράσταση δεν είναι παραγωγίσιμη σε σημείο όπου η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη: Για παράδειγμα, η συνάρτηση  y = x^1/3 δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0.

Συνοπτικά: για μια συνάρτηση f να έχει παράγωγο είναι αναγκαίο για την συνάρτηση f να είναι συνεχής, αλλά η συνέχεια από μόνη της δεν είναι επαρκής.

Οι περισσότερες συναρτήσεις που εμφανίζονται στην πράξη έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία ή σχεδόν σε όλα τα σημεία. Στην ιστορία του λογισμού, πολλοί μαθηματικοί υπέθεταν ότι οι συνεχείς συναρτήσεις ήταν παραγωγίσιμες στα περισσότερα σημεία. Κάτω από συνθήκες, για παράδειγμα αν η συνάρτηση είναι μονότονη ή συνάρτηση Lipschitz, αυτό αληθεύει.Ωστόσο, το 1872 ο Weierstrass βρήκε το πρώτο παράδειγμα συνάρτησης η οποία είναι συνεχής οπουδήποτε αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Αυτό το παράδειγμα είναι τώρα γνωστό ως συνάρτηση Weierstrass. Το 1931, ο Stefan Banach απέδειξε ότι το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάποιο σημείο είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι σχεδό καμία συνεχής συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε σημείο.