Νόμος των Μπιο-Σαβάρ

Ηλεκτρομαγνητισμός
Ηλεκτρισμός · Μαγνητισμός
Ηλεκτροστατική Ηλεκτρικό φορτίο Νόμος του Κουλόμπ Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρική ροή Νόμος του Γκάους Ηλεκτρικό δυναμικό Ηλεκτρική διπολική ροπή
Μαγνητοστατική Νόμος του Αμπέρ Μαγνητικό πεδίο Μαγνητική ροή Νόμος των Μπιο-Σαβάρ Μαγνητική διπολική ροπή
Ηλεκτροδυναμική Ηλεκτρικό ρεύμα Νόμος της δύναμης Λόρεντζ Ηλεκτρεγερτική δύναμη Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή Νόμος των Φαραντέι-Λενζ Ρεύμα μετατόπισης Εξισώσεις Μάξουελ Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία
Ηλεκτρικά Κυκλώματα Ηλεκτρική αγωγιμότητα Ηλεκτρική αντίσταση Χωρητικότητα Αυτεπαγωγή Εμπέδηση Κοιλότητες συντονισμού Κυματοδηγοί
Τανυστές στη Σχετικότητα Τανυστής ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Τανυστής πίεσης-ενέργειας

Ο νόμος των Μπιο-Σαβάρ είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής Β μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας.

Η σημασία του νόμου των Μπιο-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: curl A = B, όπου το A μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του B. Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου Β στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς η δύναμη Λόρεντζ παρέχει τη λύση του πεδίου Ε.

Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex) .

Εισαγωγή

Ο νόμος των Μπιο-Σαβάρ και η δύναμη Λόρεντζ είναι τόσο θεμελιώδεις για τον ηλεκτρομαγνητισμό, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική.

Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος

$I d\mathbf{l},$

τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι

$d\mathbf{B} = K_m \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}$

όπου

$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi} \,$, όπου $\mu_0$ είναι η μαγνητική σταθερά,

$I\mathbf{}$ είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ,

$d\mathbf{l}$ είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος,

$\mathbf{\hat r}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β,

$r\mathbf{}$ είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β.

Μορφές

Γενικά

Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος j:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dv}$

όπου

$\mathbf{\hat{r}} = { \mathbf{r} \over r }$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του r και

$dv$ = είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου.

Συνεχές ομογενές ρεύμα

Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος I, το μαγνητικό πεδίο Β είναι

$\mathbf B = K_m I \int \frac{d\mathbf l \times \mathbf{\hat r}}{r^2}$

Σημειακό φορτίο με σταθερή ταχύτητα

Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου $q\mathbf{}$ που κινείται με σταθερή ταχύτητα $\mathbf{v}$, η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή:

$\mathbf{B} = K_m \frac{ q \mathbf{v} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2}$

Μικροσκοπική κλίμακα

Στη μικροσκοπική κλίμακα, ο νόμος των Μπιο-Σαβάρ γίνεται

$\mathbf{H} = \epsilon \mathbf{v} \times \mathbf{E}$

όπου η λύση στο $\mathbf{E}$ είναι η δύναμη Κουλόμπ, και όπου

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

οπότε,

$\mathbf{B} = \mathbf{v}\times \frac{1}{c^2}\mathbf{E}$

Δείτε επίσης

Πρόσωπα

• Ζαν-Μπατίστ Μπιο
• Φελίξ Σαβάρ
• Αντρέ Μαρί Αμπέρ
• Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ

Ηλεκτρομαγνητισμός

• Εξισώσεις Μάξουελ
• Νόμος του Αμπέρ
• Μαγνητισμός
• Νόμος του Κουλόμπ

Πηγές

• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed. έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Electromagnetism, B. Crowell, Fullerton College
• MISN-0-125 The Ampere-Laplace-Biot-Savart Law (PDF file) by Orilla McHarris and Peter Signell for Project PHYSNET.