Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Ραντεμάχερ
Κατανομή Rademacher
Φορέας
x
∈
{
−
1
,
+
1
}
{\displaystyle x\in \{-1,+1\}}
Συνάρτηση Μάζας
{
1
2
αν
x
=
−
1
1
2
αν
x
=
+
1
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}&{\text{αν }}x=-1\\{\frac {1}{2}}&{\text{αν }}x=+1\end{cases}}}
Μέσος
0
{\displaystyle 0}
Διάμεσος
[
−
1
,
+
1
]
{\displaystyle [-1,+1]}
Διακύμανση
1
{\displaystyle 1}
Λοξότητα
0
{\displaystyle 0}
Κύρτωση
1
{\displaystyle 1}
Εντροπία
1
{\displaystyle 1}
Ροπή
E
[
X
k
]
=
{
1
αν
k
ζυγός
,
0
αν
k
μονός
.
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\begin{cases}1&{\text{αν }}k{\text{ ζυγός}},\\0&{\text{αν }}k{\text{ μονός}}.\end{cases}}}
Πιθανογεννήτρια
1
2
⋅
t
−
1
+
1
2
⋅
t
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}}
Χαρακτηριστική
cosh
(
t
)
{\displaystyle \cosh(t)}
Η κατανομή Ραντεμάχερ είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής .
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή
X
{\displaystyle X}
−
1
{\displaystyle -1}
+
1
{\displaystyle +1}
X
∈
{
−
1
,
+
1
}
{\displaystyle X\in \{-1,+1\}}
X
=
+
1
{\displaystyle X=+1}
X
=
−
1
{\displaystyle X=-1}
X
{\displaystyle X}
[1] :61
P
(
X
=
+
1
)
=
1
2
{\displaystyle \operatorname {P} (X=+1)={\frac {1}{2}}}
P
(
X
=
−
1
)
=
1
2
{\displaystyle \operatorname {P} (X=-1)={\frac {1}{2}}}
Αν η τυχαία μεταβλητή
Y
{\displaystyle Y}
p
{\displaystyle p}
X
=
Y
+
1
2
{\displaystyle X={\tfrac {Y+1}{2}}}
κατανομή Μπερνούλλι με παράμετρο
p
=
1
/
2
{\displaystyle p=1/2}
Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής , έχουμε ότι
E
[
X
]
=
1
2
⋅
(
+
1
)
+
1
2
⋅
(
−
1
)
=
0.
{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}\cdot (+1)+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=0.}
Χρησιμοποιώντας ότι
X
=
2
Y
−
1
{\displaystyle X=2Y-1}
Y
∼
B
e
r
(
1
/
2
)
{\displaystyle Y\sim {\mathsf {Ber}}(1/2)}
V
[
X
]
=
V
[
2
Y
−
1
]
=
4
⋅
1
2
⋅
1
2
=
1.
{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} [2Y-1]=4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=1.}
Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:
γ
1
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
σ
)
3
]
.
{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].}
Επομένως από την λοξότητα για την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι
E
[
(
X
−
E
[
X
]
σ
)
3
]
=
E
[
(
2
⋅
(
Y
−
E
[
Y
]
)
2
σ
Y
)
3
]
=
E
[
(
Y
−
E
[
Y
]
σ
Y
)
3
]
=
1
−
2
⋅
1
2
1
2
⋅
1
2
=
0.
{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]={\frac {1-2\cdot {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}}=0.}
Αντίστοιχα με την λοξότητα, από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:
E
[
(
X
−
E
[
X
]
σ
)
4
]
=
E
[
(
2
⋅
(
Y
−
E
[
Y
]
)
2
⋅
σ
Y
)
4
]
=
E
[
(
Y
−
E
[
Y
]
σ
Y
)
4
]
=
1
1
2
⋅
1
2
−
3
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\cdot \sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]={\frac {1}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}-3=1.\end{aligned}}}
Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής , έχουμε ότι για κάθε μονό
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
E
[
X
k
]
=
1
2
⋅
(
−
1
)
k
+
1
2
⋅
(
+
1
)
k
=
0.
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=0.}
Για κάθε ζυγό
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
E
[
X
k
]
=
1
2
⋅
(
−
1
)
k
+
1
2
⋅
(
+
1
)
k
=
1.
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=1.}
Από τον ορισμό της εντροπίας , έχουμε ότι:
E
[
−
log
2
X
]
=
−
1
2
⋅
log
2
(
1
2
)
−
1
2
⋅
log
2
(
1
2
)
=
1.
{\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1.}
Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
G
X
(
t
)
=
E
[
t
X
]
=
1
2
⋅
t
−
1
+
1
2
⋅
t
+
1
.
{\displaystyle G_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]={\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}.}
Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
E
[
e
t
X
]
=
1
2
⋅
e
t
+
1
2
⋅
e
−
t
=
cosh
(
t
)
.
{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]={\frac {1}{2}}\cdot e^{t}+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-t}=\cosh(t).}
↑ Παπαδάτος, Νίκος. «Θεωρία Πιθανοτήτων» (PDF) . Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023 . 
![{\displaystyle [-1,+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa72f1a806823ec94fda7922597b19cbda684f4)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\begin{cases}1&{\text{αν }}k{\text{ ζυγός}},\\0&{\text{αν }}k{\text{ μονός}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16a9dccc8057818848e6ca00cb37657be0df43b)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}\cdot (+1)+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf53af9f78233a5e67ac3185cfa2d99c7a162c4)
![{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} [2Y-1]=4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dec0b2e88433148475748815beef0fd2738da80)
![{\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c634fe1ba0edca80d64aeed366a75a8ebaff0e)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]={\frac {1-2\cdot {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f367823d8ea7c64524df8c6edc025bd59a500a89)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\cdot \sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]={\frac {1}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}-3=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47d9e873ff63d9619f2b26a6c73e08c117403f2)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13846d277e7bf1a6ee254fd65dd0c691d32f251c)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df20ffc77801109ccaacfea5416b18899001bf5)
![{\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3897b0c92f105fe0cf0be4c1c2b4eaccf038eaa)
![{\displaystyle G_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]={\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f0023340a7b4a0c567c50475cb9e156374ba05)
![{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]={\frac {1}{2}}\cdot e^{t}+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-t}=\cosh(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f1bf8a0a018cdf6e9eaf2776314b9e9d9f632b)