Αρμονική πρόοδος

Αρμονική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της α_ν, α_ν+1 ισχύει ότι ${\frac {1}{\alpha _{\nu +1}}}-{\frac {1}{\alpha _{\nu }}}=\omega$, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν για οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους μιας ακολουθίας ισχύει η παραπάνω σχέση τότε αυτή η ακολουθία είναι αρμονική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

• Γενικός τύπος: $\alpha _{\nu }={\frac {1}{{\frac {1}{\alpha _{1}}}+(\nu -1)\omega }}$
• Αναδρομικός τύπος: $\alpha _{\nu +1}={\frac {1}{\omega +{\frac {1}{\alpha _{\nu }}}}}$

Ιδιότητες της προόδου

• Η γραφική παράσταση της αρμονικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία ενός κλάδου δίκλαδης υπερβολής με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, η οποία όμως έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά $1-{\frac {1}{\omega a_{1}}}$

• Ο αρμονικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

• Αν ω=0 και τότε η αρμονική πρόοδος είναι άπειροι ίσοι μεταξύ τους όροι με τον α₁.