Αρμονική πρόοδος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Αρμονική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι \frac{1}{\alpha_{\nu+1}}-\frac{1}{\alpha_{\nu}}=\omega, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν για οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους μιας ακολουθίας ισχύει η παραπάνω σχέση τότε αυτή η ακολουθία είναι αρμονική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

  • Γενικός τύπος: \alpha_\nu=\frac{1}{\frac{1}{\alpha_1}+(\nu-1)\omega}
  • Αναδρομικός τύπος: \alpha_{\nu+1}=\frac{1}{\omega+\frac{1}{\alpha_{\nu}}}

Ιδιότητες της προόδου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η γραφική παράσταση της αρμονικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία ενός κλάδου δίκλαδης υπερβολής με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, η οποία όμως έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά 1-\frac{1}{\omega a_1}
  • Αν ω=0 και τότε η αρμονική πρόοδος είναι άπειροι ίσοι μεταξύ τους όροι με τον α1.