Σημείο συσσώρευσης

Στη μαθηματική ανάλυση η έννοια του σημείου συσσώρευσης είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε το όριο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Ορισμός

Ένας άτυπος ορισμός του σημείου συσσώρευσης είναι ο εξής: ένας πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α (που να είναι διαφορετικό του x₀) οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο x₀.

Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x₀ ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν :

για κάθε $\delta >0$ ,$\exists x\in A$ με $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ και $x\neq x_{0}$

Σημεία συσσώρευσης μπορεί να είναι και τα $\pm \infty$. Οι αντίστοιχοι ορισμοί είναι οι εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι το $+\infty$ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

$\exists x\in A$ με $x\in \cap (\delta ,+\infty )$

και ότι το $-\infty$ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ < 0:

$\exists x\in A$ με $x\in \cap (-\infty ,\delta )$

Μεμονωμένα σημεία

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x₀ ένα στοιχείο του Α. Λέμε ότι το x₀ είναι μεμονωμένο σημείο του συνόλου Α αν δεν είναι σημείο συσσώρευσής του, δηλαδή :

αν υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε,$(\forall x\in A)$ με $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ να ισχύει $x=x_{0}$

Επομένως τα στοιχεία ενός συνόλου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στα σημεία συσσώρευσης και στα μεμονωμένα σημεία. Φυσικά είναι δυνατόν ένα σύνολο να έχει μόνο σημεία συσσώρευσης ή μόνο μεμονωμένα σημεία. Σημειώνουμε ότι ενώ ενδέχεται τα σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου να ανήκουν σε αυτό ή και να μην ανήκουν, τα μεμονωμένα σημεία είναι πάντοτε εξ'ορισμού στοιχεία του συνόλου.

Παραδείγματα

• Έστω [a, b] ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
• Έστω (a, b) ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
• Έστω I ένα μη κενό διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι ακριβώς τα σημεία x του Ι και επίσης τα άκρα του (συμπεριλαμβανομένων των $\pm \infty$ αν είναι άκρα του Ι).
• Το σύνολο $\mathbb {N}$ έχει ως σημείο συσσώρευσης μόνο το $+\infty$.
• Τα σύνολα $\mathbb {Q}$ και $\mathbb {R}$ έχουν ως σημεία συσσώρευσης κάθε x στο $\mathbb {R}$, καθώς επίσης και τα $\pm \infty$.

Σημεία συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x₀ ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από δεξιά, αν για κάθε δ > 0:

$\exists x\in A$ με $x\in (x_{0},x_{0}+\delta )$

και ότι το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από αριστερά, αν για κάθε δ > 0:

$\exists x\in A$ με $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})$

Αν ένα σημείο x₀ είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α από δεξία ή από αριστερά, τότε είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Αν όμως ένα σημείο x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του Α τότε δεν είναι πάντα σωστό ότι το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά. Μπορεί να είναι σημείο συσσώρευσης μόνο από δεξιά ή μόνο από αριστερά.

Βασικές Προτάσεις

• Αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε δεν έχει σημείο συσσώρευσης και επομένως κάθε στοιχείο του είναι μεμονωμένο σημείο.
• Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x₀ ένας πραγματικός αριθμός. Το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα το πλήθος στοιχεία του Α στο διάστημα $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ για κάθε δ > 0.
• Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x₀ ένας πραγματικός αριθμός. Το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία x_n στο Α τέτοια ώστε: $x_{n}\rightarrow x_{0}$ και $x_{n}\neq x_{0}$ για κάθε n στο $\mathbb {N}$.
• Το $+\infty$ είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν το Α δεν είναι άνω φραγμένο και το $-\infty$ είναι σημείο συσσώρευσης του αν δεν είναι κάτω φραγμένο.