Ευκλείδεια μετρική

Ορισμός

Η ευκλείδεια μετρική είναι μία συνάρτηση: $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} \,$ που αντιστοιχεί σε δύο διανύσματα $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \,$του $n-$διάστατου διανυσματικού χώρου $\mathbb {R} ^{n}\,$, $\mathbf {x} =\{x_{1},\dots ,x_{n}\},\mathbf {y} =\{y_{1},\dots ,y_{n}\}\,$ τον αριθμό

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}.$

Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη"(Ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο , $n-$διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις

Μία διάσταση

Εφαρμόζοντας τον παραπάω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία $P=(p_{x})\,$ και $Q=(q_{x})\,$, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|$

Δύο διαστάσεις

Για δύο διδιάστατα σημεία στο επίπεδο, $P=(p_{x},p_{y})\,$ και $Q=(q_{x},q_{y})\,$, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}$

Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να εκφραστεί σε πολικές συντεταγμένες, κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού $P=(r_{1},\theta _{1})\,$ και $Q=(r_{2},\theta _{2})\,$, ως:

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}$