Μιγαδικός αριθμός

Στα μαθηματικά, μιγαδικός αριθμός είναι μία έκφραση της μορφής α + βi, όπου α and β είναι πραγματικοί αριθμοί, και i η φανταστική μονάδα με την ιδιότητα $i^{2}=-1$.

Ο πραγματικός αριθμός α ονομάζεται πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, και ο αριθμός β αποτελεί το φανταστικό μέρος. Αν το φανταστικό μέρος είναι ίσο με το μηδέν, τότε ο μιγαδικός αριθμός ταυτίζεται με τον πραγματικό αριθμό α.

Για παράδειγμα ο αριθμός 3 + 2i είναι ένα μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.

Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς.

Για τους μιγαδικούς αριθμούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό. Δυο μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να είναι ίσοι, (όταν έχουν ίσα πραγματικά και ίσα φανταστικά μέρη), ή άνισοι.

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.

Ορισμοί

Συμβολισμοί και πράξεις

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται συνήθως ως C, ή $\mathbb {C}$ και ορίζεται ως εξής:

$\mathbb {C} =\{a+bi:a,b\in \mathbb {R} \}$

Το σύνολο των μιγαδικών περιέχει επιπλέον όλους τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως ένας μιγαδικός με μηδενικό φανταστικό μέρος: α = α + 0i.

Πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, γίνονται με βάση τους γνωστούς κανόνες αντιμετάθεσης, προσεταιρισμού και επιμερισμού, της άλγεβρας:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Μιγαδικό επίπεδο

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διάνυσμα σε ένα διδιάστατο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, γνωστό και ως μιγαδικό επίπεδο (ή διάγραμμα Argand).

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του μιγαδικού αριθμού z = x + yi είναι το πραγματικό μέρος x και το φανταστικό μέρος y, ενώ οι πολικές του συντεταγμένες είναι r = |z|, που αποτελεί το μέτρο (ή απόλυτη τιμή) του μιγαδικού και φ = arg(z), που ονομάζεται και πρωτεύον όρισμα του z. Ισχύει επίσης ότι

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }.\,$

Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού ορίζεται μονοσήμαντα:

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 0$

ενώ το όρισμα προσδιορίζεται με προσθετέο 2πk, όπου k ακέραιος, δηλαδή ορίσματα που διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π είναι ισοδύναμα.

Γεωμετρικά, το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού είναι το μήκος του διανύσματος που τον παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο, ενώ το όρισμά του είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμά του με τον θετικό πραγματικό ημιάξονα $\mathbb {R}$.

Με βάση την τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών, μπορούν να οριστoύν ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεσή τους ως εξής:

$r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}\,$

και

${\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}.\,$

Κατά αυτό τον τρόπο, η πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται με πρόσθεση διανυσμάτων ενώ ο πολλαπλασιασμός μπορεί να θεωρηθεί ως μία στροφή (και ομοιοθεσία, δηλ. επιμήκυνση ή σμίκρυνση) διανύσματος. Ο πολλαπλασιασμός με τον φανταστικό αριθμό i αντιστοιχεί σε μία στροφή 90 μοιρών (με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού). Η γεωμετρική επομένως σημασία της εξίσωσης i² = −1, που ορίζει τον φανταστικό αριθμό, είναι πως δύο διαδοχικές στροφές 90 μοιρών ταυτίζονται με μία στροφή 180 μοιρών.

Συζυγής μιγαδικός

Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z = a + ib ορίζεται ως a - ib, και συμβολίζεται ${\bar {z}}$ ή $z^{*}\,$. Γεωμετρικά, ο ${\bar {z}}$ αποτελεί τον κατοπτρισμό του z ως προς τον άξονα των πραγματικών (σχήμα). Ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις:

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}$

${\bar {\bar {z}}}=z$

${\bar {z}}=z$   αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός

$|z|=|{\bar {z}}|=|-z|=|{\bar {-z}}|$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}$

$z^{-1}={\bar {z}}|z|^{-2}$   για z μη μηδενικό.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Βικιβιβλίο στην αγγλική έκδοση (Wikibooks)