Σύμβολο μετάθεσης

Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (ή μετάταξης, επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός

Το σύμβολο μετάθεσης συναντάται κυρίως στις τρεις, στις τέσσερις και σε κάποιο βαθμό στις δύο διαστάσεις. Ωστόσο, ο ορισμός του συμβόλου μετάθεσης γενικεύεται για οποιαδήποτε διάσταση.

Δύο διαστάσεις

Το διδιάστατο σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

$\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{αν }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{αν }}i=j\end{cases}}$

Οι τιμές μπορούν να διαταχθούν σε έναν 2 × 2 αντισυμμετρικό πίνακα:

${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Η χρήση του διδιάστατου συμβόλου είναι σχετικά ασυνήθιστη, παρόλα αυτά, σε ορισμένες εξεζητημένες περιοχές όπως η υπερσυμμετρία και στη θεωρία twistor εμφανίζεται στο πλαίσιο των 2-σπινόρων. Τα σύμβολα Levi-Civita χρησιμοποιούνται ευρύτερα στις τρεις ή περισσότερες διαστάσεις.

Τρεις διαστάσεις

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

$\epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2)\ {\acute {\eta }}\ (2,3,1)\\-1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3)\ {\acute {\eta }}\ (3,2,1)\\0,&\ \alpha \nu \ i=j,\ i=k\ {\acute {\eta }}\ j=k\end{cases}}$

Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης ε_ijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση (ή μετάταξη) των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάταξης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

$\epsilon _{ijk}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}$

Κατ' αναλογία με τους πίνακες δύο διαστάσεων, οι τιμές του τριδιάστατου συμβόλου Levi-Civita μπορούν να παρασταθούν σε μια διάταξη 3 × 3 × 3:

όπου i είναι το βάθος (μπλε, i=1; κόκκινο, i=2; πράσινο, i=3), j η σειρά and k η στήλη.

Μερικά παραδείγματα:

${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}$

Τέσσερις διαστάσεις

Στις τέσσερις διαστάσεις, το σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

$\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(i,j,k,l){\text{ είναι άρτια μετάθεση των }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{αν }}(i,j,k,l){\text{ είναι περιττή μετάθεση των }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{διαφορετικά}}\end{cases}}$

Αυτές οι τιμές μπορούν να παρασταθούν σε μια 4 × 4 × 4 × 4 διάταξη, παρόλα αυτά στις 4 ή ανώτερες διαστάσεις, αυτό δύσκολα μπορεί να σχεδιαστεί.

Μερικά παραδείγματα:

${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$

Γενίκευση στις n διαστάσεις

Το σύμβολο μετάθεσης Levi-Civita μπορεί να γενικευθεί στις n διαστάσεις:

$\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ είναι άρτια μετάθεση των }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{αν }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ είναι περιττή μετάθεση των }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{διαφορετικά}}\end{cases}}$

Έτσι, πρόκειται για το πρόσημο της μετάθεσης, στη περίπτωση της μετάθεσης και μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση.

Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του πολλαπλασιασμού ∏ για το συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών, μπορεί να διατυπωθεί μια πολύ σαφής έκφραση:

${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$

όπου το γινόμενο είναι συνολικά αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και το σύμβολο sgn υποδηλώνει τη συνάρτηση προσήμου, η οποία εξάγει το πρόσημο κάθε διαφοράς, απορρίπτοντας τις απόλυτες τιμές. Ο τύπος ισχύει για κάθε τιμή δείκτη και για κάθε n (όταν n = 0 ή 1, τότε πρόκειται για το "άδειο" γινόμενο (empty product). Ωστόσο, το να υπολογίσει κανείς αφελώς την παραπάνω έκφραση, απαιτείται χρονική πολυπλοκότητα τάξης O(n²), ενώ, χρησιμοποιώντας διακριτούς κύκλους μετάθεσης (disjoint cycles), απαιτείται ένα κόστος τάξης μόλις O(n log(n)).

Ιδιότητες

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

${\begin{aligned}\epsilon _{ij}\epsilon _{mn}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{in}&=\delta _{jn}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{ij}&=2\end{aligned}}$

Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

${\begin{aligned}\epsilon _{ijk}\epsilon _{mnk}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{imn}\epsilon _{jmn}&=2\delta _{ij}\\\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}&=6\end{aligned}}$

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις

Διανυσματικός λογισμός

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a₁,a₂,a₃) και Β=(b₁,b₂,b₃) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

$\mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

όπου (e₁,e₂,e₃) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

$\mathbf {A} \times \mathbf {B} =\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a_{j}b_{k}$

Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c₁,c₂,c₃)) τότε:

$c_{i}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

Δείτε επίσης

• Δέλτα του Κρόνεκερ

Πηγές

Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol».