Τύπος του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μ Ο Tony Esopi μετακίνησε τη σελίδα Τύπος του Euler στην Τύπος του Όιλερ: όπως το Ταυτότητα του Όιλερ - ομοιομορφία |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
| Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
''' '''Ο '''τύπος του Euler, '''που πήρε το όνομά του από τον [[Λέοναρντ Όιλερ|Leonhard Euler]], είναι ένας μαθηματικός τύπος στη [[μιγαδική ανάλυση]] που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] και της [[Εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]] με φανταστικό όρισμα. |
''' '''Ο '''τύπος του Euler, '''που πήρε το όνομά του από τον [[Λέοναρντ Όιλερ|Leonhard Euler]], είναι ένας μαθηματικός τύπος στη [[μιγαδική ανάλυση]] που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] και της [[Εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]] με φανταστικό όρισμα. Σύμφωνα με τον τύπο του Euler για κάθε πραγματικό αριθμό {{Math|''x''}} ισχύει |
||
<math> e^{ix}=\cos x+i\sin x, </math> |
|||
όπου {{Math|''e''}} είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, {{Math|''i''}} η φανταστική μονάδα, ενώ τα {{Math|cos}} and {{Math|sin}} συμβολίζουν τις [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις]] του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα {{Math|''x''}} να δίνεται σε ακτίνια. Η ανωτέρω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές {{nobreak|''[[cis (mathematics)|cis]]''(''x'')}} ("''c''osine plus ''i'' ''s''ine"). Ο τύπος του Euler ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα {{Math|''x''}} είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.<ref>{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref> |
|||
Ο τύπος του Euler συναντάται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Ο φυσικός [[Ρίτσαρντ Φίλλιπς Φάινμαν|Richard Feynman]] αποκάλεσε την εξίσωση "κόσμημα" και "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref> |
|||
==Ιστορία== |
|||
Ο Johann Bernoulli παρατήρησε ότι<ref>Johann Bernoulli, Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul, ''Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris'', 197-289 (1702).</ref> |
|||
<math>\dfrac {1}{1+x^{2}}=\dfrac {1}{2}\left( \dfrac {1}{1-ix}+\dfrac {1}{1+ix}\right)</math> |
|||
και εφόσον |
|||
<math>\int \dfrac {dx}{1+ax}=\dfrac {1}{a}\ln \left( 1+ax\right) +C</math> |
|||
η παραπάνω εξίσωση μας λέει κάτι για τους μιγαδικούς λογαριθμούς, παρ' όλο που ο Bernoulli δεν προχώρησε σε υπολογισμό του ολοκληρώματος. Από την αλληλογραφία του Bernoulli με τον Euler (που επίσης γνώριζε την παραπάνω εξίσωση) προκύπτει ότι ο Bernoulli δεν κατανοούσε πλήρως τους μιγαδικούς λογαρίθμους. Ο Euler πρότεινε επίσης ότι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να έχουν απείρως πολλές τιμές. |
|||
Εν τω μεταξύ, ο Roger Cotes, το 1714, ανακάλυψε ότι |
|||
<math>ix=\ln \left( \cos x+i\sin x\right). </math> |
|||
(<math>\ln</math> είναι ο φυσικός λογάριθμος)<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref> |
|||
Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του {{Math|2iπ}} εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. |
|||
==Αναφορές== |
|||
<references/> |
|||
Έκδοση από την 20:41, 15 Μαΐου 2016
Ο τύπος του Euler, που πήρε το όνομά του από τον Leonhard Euler, είναι ένας μαθηματικός τύπος στη μιγαδική ανάλυση που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και της εκθετικής συνάρτησης με φανταστικό όρισμα. Σύμφωνα με τον τύπο του Euler για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει
όπου e είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, i η φανταστική μονάδα, ενώ τα cos and sin συμβολίζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα x να δίνεται σε ακτίνια. Η ανωτέρω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές cis(x) ("cosine plus i sine"). Ο τύπος του Euler ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα x είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.[1]
Ο τύπος του Euler συναντάται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Ο φυσικός Richard Feynman αποκάλεσε την εξίσωση "κόσμημα" και "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."[2]
Ιστορία
Ο Johann Bernoulli παρατήρησε ότι[3]
και εφόσον
η παραπάνω εξίσωση μας λέει κάτι για τους μιγαδικούς λογαριθμούς, παρ' όλο που ο Bernoulli δεν προχώρησε σε υπολογισμό του ολοκληρώματος. Από την αλληλογραφία του Bernoulli με τον Euler (που επίσης γνώριζε την παραπάνω εξίσωση) προκύπτει ότι ο Bernoulli δεν κατανοούσε πλήρως τους μιγαδικούς λογαρίθμους. Ο Euler πρότεινε επίσης ότι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να έχουν απείρως πολλές τιμές.
Εν τω μεταξύ, ο Roger Cotes, το 1714, ανακάλυψε ότι
( είναι ο φυσικός λογάριθμος)[4]
Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του 2iπ εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Αναφορές
- ↑ Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. σελ. 7. ISBN 981-02-4780-X.
- ↑ Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. σελ. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
- ↑ Johann Bernoulli, Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul, Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, 197-289 (1702).
- ↑ John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.