Σ-άλγεβρα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 18: | Γραμμή 18: | ||
==Παραδειγματα== |
==Παραδειγματα== |
||
* Για καθε συνολο <math>\Omega</math> |
* Για καθε συνολο <math>\Omega</math> το <math>\{\emptyset,\Omega\}</math> ειναι η μικροτερη και το [[δυναμοσύνολο]] <math>\mathcal P(\Omega)</math> η μεγαλυτερη σ-αλγεβρα. |
||
* Η σ-αλγεβρα των υποσυνολων κατα Μπορελ των πραγματικων αριθμων, περιεχει μεταξυ αλλων και ολα τα διαστηματα. |
* Η σ-αλγεβρα των υποσυνολων κατα Μπορελ των πραγματικων αριθμων, περιεχει μεταξυ αλλων και ολα τα διαστηματα. |
||
Έκδοση από την 15:12, 14 Σεπτεμβρίου 2006
Αν μιλάμε για το σύνολο Ω όλων των πιθανών ενδεχομένων, σ-άλγεβρα (σιγμα αλγεβρα) είναι μια κλάση από υποσύνολα του Ω (χονδρικά μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα σύνολο με στοιχεία του κάποια υποσύνολα του Ω, αλλά η ορολογία είναι αδόκιμη).
Η σ-άλγεβρα είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο στα στοχαστικά μαθηματικά, κυρίως διότι αριθμήσιμες (το πολύ) το πλήθος συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ συνόλων που ανήκουν στην ίδια σ-άλγεβρα δίνουν σύνολα που ανήκουν και αυτά στην ίδια σ-άλγεβρα. Οι σ-αλγεβρες ειναι η βαση για τον ορισμο του χωρου των μαζων και των πιθανοτητων.
Τεχνικος Ορισμος
Εστω Χ ενα συνολο. Τοτε η σ-αλγεβρα ειναι μια μη αδεια συλλογη υποσυνολων του Χ ετσι ωστε:
1) Το Χ ανηκει στο
2) Αν το Α ειναι στο , τοτε ειναι και το συμπληρωματικο του Α
3) Αν έχουμε μια ακολουθία συνόλων {, όπου n=1,2,...} στο τότε η ενωση των ανηκει επισης στο .
Από τον ορισμό προκύπτει ότι σε κάθε σ-άλγεβρα ανήκει το Ω και το κενό σύνολο. Επισης καθε σ-αλγεβρα ειναι ενα συστημα Ντυνκιν.
Παραδειγματα
- Για καθε συνολο το ειναι η μικροτερη και το δυναμοσύνολο η μεγαλυτερη σ-αλγεβρα.
- Η σ-αλγεβρα των υποσυνολων κατα Μπορελ των πραγματικων αριθμων, περιεχει μεταξυ αλλων και ολα τα διαστηματα.
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |