Πεπερασμένο σώμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 13:27, 25 Μαΐου 2009

Στα μαθηματικά, ένα σώμα καλείται πεπερασμένο αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο.

Ένα πεπερασμένο σώμα λέγεται αλλιώς και σώμα Γκαλουά προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois)

Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην Θεωρία Αριθμών, την Αλγεβρική Γεωμετρία, την Κρυπτογραφία και τη Θεωρία Κωδικοποίησης.

Τα πεπερασμένα σώματα έχουν μελετηθεί πλήρως.

Κατηγοριοποιήση

Τα πεπερασμένα σώματα κατηγοριούνται ως εξής: ^[1]:

Κάθε πεπερασμένο σώμα έχει pⁿ στοιχεία, όπου p πρώτος αριθμός n ≥ 1 ακέραιος. (Το p ονομάζεται χαρακτηριστική του σώματος.)
Για κάθε πρώτο p και κάθε ακέραιο n ≥ 1, υπάρχει ένα πεπερασμένο σώμα με pⁿ στοιχεία.
Όλα τα σώματα με pⁿ στοιχεία είναι ισόμορφα μεταξύ τους. Μπορούμε να ταυτίσουμε όλα τα σώματα με τον ίδιο αριθμό στοιχείων. ΄Συμβολισμός: GF(pⁿ). όπου τα γράμματα "GF" προέρχονται από το αγγλικό "Galois field" (σώμα Γκαλουά).

Μερικά μικρά πεπερασμένα σώματα

GF(2):

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

GF(3):

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

GF(4):

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

Παραπομπές

↑ p287, Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd Ed. έκδοση). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809. CS1 maint: Extra text (link)

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] 287, Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd Ed. έκδοση). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809. CS1 maint: Extra text (link)

[1]

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
 Στα [[μαθηματικά]], ένα [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] καλείται '''πεπερασμένο''' αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο.
-Ένα πεπερασμένο σώμα λέγαται και αλλιώς ''σώμα Γκαλουά'' προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois)
+Ένα πεπερασμένο σώμα λέγεται αλλιώς και ''σώμα Γκαλουά'' προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois)
-Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην Θεωρία Αριμθών, την Αλγεβρική Γεωμετρία, την Κρυπτογραφία και τη Θεωρία Κωδικοποίησης.
+Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην Θεωρία Αριθμών, την Αλγεβρική Γεωμετρία, την Κρυπτογραφία και τη Θεωρία Κωδικοποίησης.
 Τα πεπερασμένα σώματα έχουν μελετηθεί πλήρως.
@@ Γραμμή 16: / Γραμμή 16: @@
  | publisher = W. H. Freeman and Company | location = New York | id = ISBN 0716714809 }}</ref>:
-* Κάθε πεπρασμένο σώμα έχει ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία, όπου ''p'' [[πρώτος αριθμός]] ''n'' &ge; 1 ακέραιος. (Το ''p'' ονομάζεται ''χαρακτηριστική'' του σώματος.)
+* Κάθε πεπερασμένο σώμα έχει ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία, όπου ''p'' [[πρώτος αριθμός]] ''n'' &ge; 1 ακέραιος. (Το ''p'' ονομάζεται ''χαρακτηριστική'' του σώματος.)
-* Για κάθε πρώτο ''p'' και κάθε ακέραιο ''n'' &ge; 1, υπάρχει ένα πεπρασμένο σώμα με ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία.
+* Για κάθε πρώτο ''p'' και κάθε ακέραιο ''n'' &ge; 1, υπάρχει ένα πεπερασμένο σώμα με ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία.
 * Όλα τα σώματα με ''p''<sup>''n''</sup> στοιχεία είναι ισόμορφα μεταξύ τους. Μπορούμε να ταυτίσουμε όλα τα σώματα με τον ίδιο αριθμό στοιχείων. ΄Συμβολισμός: '''GF'''(''p''<sup>''n''</sup>). όπου τα γράμματα "GF" προέρχονται από το αγγλικό "Galois field" (σώμα Γκαλουά).