Γραμμικό σύνολο

Στα μαθηματικά, μια Πολλαπλή αριθμητική πρόοδος, μια Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος, μια k-Διαστατική αριθμητική πρόοδος, ή ένα Γραμμικό σύνολο, είναι ένα σύνολο ακεραίων, ή πλειάδες ακεραίων, κατασκευασμένων ως μία Αριθμητική πρόοδος, η οποία όμως επιτρέπει και αρκετές πιθανές διαφορές. Έτσι, για παράδειγμα, μπορεί να ξεκινήσει από το 17 και στη συνέχεια να προσθέσει ένα πολλαπλάσιο του 3 ή του 5, κατ' επανάληψη.

Θεωρία

Με αλγεβρικούς όρους ας κοιτάξουμε τους ακέραιους

$a+mb+nc+\ldots$

όπου $a,b,c$ και ούτω καθεξής, είναι σταθερές, και $m,n$ και ούτω καθεξής, περιορίζονται σε ορισμένα διαστήματα

$0$  ≤  $m$  ≤  $M$

και ούτω καθεξής, για μια πεπερασμένη πρόοδο. Ο αριθμός  $k$ , που είναι ο αριθμός των επιτρεπόμενων διαφορών, ονομάζεται διάσταση της γενικευμένης προόδου.

Γενικότερα, έστω

$L(C;P)$

είναι το σύνολο όλων των στοιχείων $x$ στο $N^{n}$ της μορφής

$x=c_{0}+\sum _{i=1}^{m}k_{i}x_{i},$

με το $c_{0}$ στο $C$, το $x_{1},\ldots ,x_{m}$ στο $P$, και το $k_{1},\ldots ,k_{m}$ στο $N$. Το $L$ λέγεται ότι είναι ένα γραμμικό σύνολο αν το $C$ αποτελείται από ένα ακριβώς στοιχείο, και το $P$ είναι πεπερασμένο.

Ένα υποσύνολο του $N^{n}$ λέγεται ότι είναι ημιγραμμικό αν αυτό αποτελεί μια πεπερασμένη ένωση γραμμικών συνόλων.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Θεώρημα του Φράιμαν

Παραπομπές

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.