Μετάβαση στο περιεχόμενο

Άθροισμα δύο κύβων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, το άθροισμα δύο κύβων είναι το άθροισμα ενός αριθμού που είναι κύβος με έναν άλλον κύβο.

Οπτική απόδειξη για την παραγοντοποίηση του αθροίσματος (και της διαφοράς) κύβων.

Το άθροισμα δύο κύβων και μπορεί να γραφτεί ως[1]:10-11

.

Απόδειξη: Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Θέτοντας στον τύπο για το άθροισμα κύβων λαμβάνουμε ότι

ή ισοδύναμα

Θεωρητικές εφαρμογές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ακέραιοι εκφράσιμοι ως το άθροισμα κύβων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην θεωρία αριθμών από την εποχή του Διόφαντου έχει μελετηθεί ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να γραφούν ως το άθροισμα δύο κύβων.[2][3][4]

Κύριο λήμμα: Αριθμοί των Ταξί

Οι αριθμοί των Ταξί[5] είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα κύβων. Για παράδειγμα, to , μπορεί να γραφτεί ως

,

και είναι ο μικρότερος τέτοιος αριθμός για . Για , ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι ο , που μπορεί να γραφτεί ως

.

Στην θεωρία αριθμών έχει μελετηθεί[6][7] ποια αθροίσματα κύβων είναι τέλειες δυνάμεις, δηλαδή για ποιους ακεραίους , και ισχύει ότι

,

για κάποιον φυσικό αριθμό .

  1. Μπάμπης Στεργίου· Νίκος Σπομπρης (2005). Αλγεβρικές ανισότητες. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604235582. 
  2. Goormaghtigh, R. (1936). «Integers expressible as the sum of two cubes». The Mathematical Gazette: 140-141. 
  3. Dolan, S. W. (Μαρτίου 1982). «On expressing numbers as the sum of two cubes». The Mathematical Gazette 66 (435): 31–38. doi:https://doi.org/10.2307/3617304. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1982-03_66_435/page/n32. 
  4. Hooley, Christopher (1 Ιανουαρίου 1980). On the numbers that are representable as the sum of two cubes.. 1980, σελ. 146–173. doi:https://doi.org/10.1515/crll.1980.314.146. 
  5. Silverman, Joseph H. (1993). «Taxicabs and Sums of Two Cubes». The American Mathematical Monthly 100 (4): 331–340. doi:https://doi.org/10.2307/2324954. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1993-04_100_4/page/n4. 
  6. Kraus, Alain (1998). «Sur l'equation ». Experimental Mathematics 7 (1): 1-13. 
  7. Bruin, Nils (2000). «On Powers as Sums of Two Cubes». Algorithmic Number Theory: 169–184. doi:https://doi.org/10.1007/10722028_9.