Ψηφιακή ρίζα

Η ψηφιακή ρίζα ενός φυσικού αριθμού σε μια δεδομένη βάση είναι ένας μονοψήφιος αριθμός που προκύπτει αν αθροίσουμε τα ψηφία ενός δεδομένου αριθμού, στη συνέχεια αθροίσουμε τα ψηφία του αποτελέσματος και ούτω καθεξής μέχρι να καταλήξουμε σε έναν μονοψήφιο αριθμό. Για παράδειγμα, στη βάση 10, η ψηφιακή ρίζα του αριθμού 12345 είναι 6, επειδή το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 και το άθροισμα των ψηφίων του αποτελέσματος είναι 1 + 5 = 6, που είναι η ψηφιακή ρίζα αυτού του αριθμού. Στη βάση 10, αυτό ισοδυναμεί με το να πάρουμε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση με το 9 (εκτός από την περίπτωση που η ψηφιακή ρίζα είναι 9, όπου το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση με το 9 θα είναι 0).

Αυστηρός ορισμός

Έστω $n$ ένας φυσικός αριθμός. Για μια δεδομένη βάση $b>1$, ορίζουμε το ψηφιακό άθροισμα $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ να είναι το εξής:

$F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}$

όπου $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ είναι το πλήθος των ψηφίων του αριθμού στη βάση $b$ και

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

είναι η τιμή κάθε ψηφίου του αριθμού. Ένας φυσικός αριθμός $n$ ονομάζεται ψηφιακή ρίζα αν είναι ένα σταθερό σημείο της $F_{b}$, το οποίο συμβαίνει όταν $F_{b}(n)=n$. Oι μόνες πιθανές ψηφιακές ρίζες είναι οι αριθμοί $0\leq n<b$.

Παράδειγμα

Στη βάση 12, το 8 είναι η ψηφιακή ρίζα του αριθμού 3110 στη βάση 10, διότι για $n=3110$:

$d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2$

$d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7$

$d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9$

$d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1$

$F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19$

Αυτή η διαδικασία δείχνει ότι το 3110 είναι το 1972 στη βάση 12. Τώρα, για το $F_{12}(3110)=19$:

$d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7$

$d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1$

$F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8,$

που σημαίνει ότι το 19 είναι το 17 στη βάση 12. Τέλος, καθώς το 8 είναι μονοψήφιος αριθμός στη βάση 12,

$F_{12}(8)=8$.

Άμεσοι τύποι

Μπορούμε να ορίσουμε τη ψηφιακή ρίζα άμεσα για μια βάση $b>1$, την οποία θα συμβολίζουμε με $\operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, με τους εξής τρόπους:

Τύπος ισοτιμίας (modulo)

Ο τύπος στη βάση $b$ είναι:

$\operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}$

ή

$\operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}$

Στη βάση 10, η αντίστοιχη ακολουθία είναι η (ακολουθία A010888 στην OEIS).

Η ψηφιακή ρίζα είναι το modulo του $(b-1)$, επειδή $b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},$ και έτσι $b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.$ Ανεξαρτήτως λοιπόν της θέσης $i$ του ψηφίου $d_{i}$, $d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}$, το οποίο εξηγεί γιατί τα ψηφία μπορούν να προστεθούν με νόημα. Συγκεκριμένα, για έναν τριψήφιο αριθμό $n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}$,

$\operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.$

Τύπος με χρήση της συνάρτησης δαπέδου

Μπορούμε να δούμε την ψηφιακή ρίζα ενός θετικού ακεραίου ως τη θέση που κατέχει σε σχέση με το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του $b-1$ που είναι μικρότερο από τον ίδιο τον αριθμό. Για παράδειγμα, στη βάση 6 η ψηφιακή ρίζα του 11 είναι το 2, που σημαίνει ότι το 11 είναι ο δεύτερος αριθμός μετά το $6-1=5$. Ομοίως, στη βάση 10 η ψηφιακή ρίζα του 2035 είναι το 1, που σημαίνει ότι $2035-1=2034|9$. Αν ένας αριθμός έχει ψηφιακή ρίζα που είναι της μορφής $b-1$, τότε ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του $b-1$.

Έχοντας αυτό υπόψη, η ψηφιακή ρίζα ενός θετικού ακεραίου αριθμού $n$ μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δαπέδου $\lfloor x\rfloor$, ως εξής:

$\operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .$

Ιδιότητες

• Η ψηφιακή ρίζα του $a_{1}+a_{2}$ στη βάση $b$ είναι η ψηφιακή ρίζα του αθροίσματος της ψηφιακής ρίζας του $a_{1}$ και του $a_{2}$: $$\operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).$$Αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα είδος αθροίσματος ελέγχου, για να ελέγξουμε ότι ένα άθροισμα έχει εκτελεστεί σωστά.

• Η ψηφιακή ρίζα του $a_{1}-a_{2}$ στη βάση $b$ είναι ισότιμη (ισοδύναμη) με τη διαφορά της ψηφιακής ρίζας του $a_{1}$ και του $a_{2}$ modulo $(b-1)$: $$\operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\pmod {(b-1)}}.$$

• Η ψηφιακή ρίζα του $-n$ στη βάση $b$ είναι:$$\operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.$$

• Η ψηφιακή ρίζα του γινομένου δύο μη μηδενικών μονοψήφιων αριθμών $a_{1}\cdot a_{2}$ στη βάση $b$ δίνεται από το Βεδικό τετράγωνο στη βάση $b$.

• Η ψηφιακή ρίζα του $a_{1}\cdot a_{2}$ στη βάση $b$ είναι η ψηφιακή ρίζα του γινομένου της ψηφιακής ρίζας του $a_{1}$ και του $a_{2}$: $$\operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).$$

Παράδειγμα προγραμματισμού

Το παρακάτω παράδειγμα υλοποιεί το ψηφιακό άθροισμα που περιγράφεται στον παραπάνω ορισμό για την αναζήτηση ψηφιακών ριζών στην Python:

def digit_sum(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + (x % b)
        x = x // b
    return total

def digital_root(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return x

Στην κουλτούρα

Οι ψηφιακές ρίζες χρησιμοποιούνται στη δυτική αριθμολογία, αλλά ορισμένοι αριθμοί που θεωρείται ότι έχουν μικρή σημασία (όπως το 11 και το 22) δεν περιορίζονται πάντα πλήρως σε μονοψήφιο αριθμό.

Βιβλιογραφία

• Averbach, Bonnie; Chein, Orin (27 May 1999), Problem Solving Through Recreational Mathematics, Dover Books on Mathematics (reprinted ed.), Mineola, NY: Courier Dover Publications, pp. 125–127, ISBN 0-486-40917-1
• Ghannam, Talal (4 January 2011), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, pp. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, archived from the original on 29 March 2016, retrieved 11 February 2016
• Hall, F. M. (1980), An Introduction into Abstract Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Cambridge, U.K.: CUP Archive, p. 101, ISBN 978-0-521-29861-2
• Rouse Ball, W. W.; Coxeter, H. S. M. (6 May 2010), Mathematical Recreations and Essays, Dover Recreational Mathematics (13th ed.), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2