Χρήστης:Lazart/πρόχειρο

Injective module

Στα μαθηματικά, ειδικά στην αφηρημένη άλγεβρα γνωστή ως θεωρία προτύπου, ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι ένα πρότυπο Q το οποίο μοιράζεται ορισμένες ιδιότητες με το Z-module Q για όλους τους λογικούς αριθμούς. Ειδικά, αν το Q είναι ένα submodule από κάποια άλλα πρότυπα, τότε είναι ήδη ένας άμεσος προσθετέος από αυτό το πρότυπα; επίσης, δοθέντος ενός submodule ενός προτύπου Y, μετά οποιοδήποτε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο ενός submodule του Q μπορεί να επεκταθεί σε έναν ομομορφισμό από όλο το Y στο Q. Η έννοια αυτή είναι διπλή με εκείνη των προβολικών προτύπων. Τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα εισήχθησαν (Baer 1940) και αναλύονται λεπτομερώς στο βιβλίο (Lam 1999, §3).

Τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα έχουν μελετηθεί σε μεγάλο βαθμό, και μια ποικιλία επιπρόσθετων εννοιών ορίζονται σε όρους αυτών: Injective cogenerators είναι αμφιμονοσήμαντα πρότυπα τα οποία αντιπροσωπεύουν πιστά ολόκληρη την κατηγορία των modules. Injective resolutions μετρούν πόσο μακριά από ένα injective είναι ένα module από την άποψη της διάστασης και αντιπροσωπεύουν πρότυπα στην κατηγορία απ'όπου προέρχεται. Αμφιμονοσήμαντα hulls είναι μέγιστες ουσιώδεις επεκτάσεις, και αποδεικνύεται ότι είναι ελάχιστες αμφιμονοσήμαντες επεκτάσεις. Πάνω από ένα δακτύλιο Noetherian, κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μοναδικά ένα άθροισμα αδιάσπαστων προτύπων , και η δομή τους είναι εύκολα κατανοητή. Ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο πάνω σε έναν δακτύλιο, ίσως να μην είναι ένα injective πάνω σε ένα άλλο, αλλά υπάρχουν καλά κατανοητοί μέθοδοι για την αλλαγή δακτυλίων οι οποίες χειρίζονται ειδικών περιπτώσεων. Δακτύλιοι που είναι από μόνοι τους αμφιμονοσήμαντα πρότυπα έχουν έναν αριθμό από ενδιαφέρουσες ιδιότητες και περιλαμβάνουν δακτύλιους όπως ομάδες δακτυλίων των πεπερασμένων ομάδων πάνω από τα πεδία. Τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα περιλαμβάνουν διαιρετές ομάδες και είναι γενικευμένα από αντικείμενα μονομορφισμού στην θεωρία κατηγοριών.

Ορισμός

Ένα πρότυπο Q πάνω από έναν δακτύλιο R είναι μονομορφισμός αν πληροί μία ( και ως εκ τούτου όλες) από τις ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες:

• Άν το Q είναι ένα submodule από κάποια άλλα αριστερά R-module M, υπάρχει και ένα άλλο submodule από το Μ, τέτοιο ώστε το Μ να είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισμα του Q και του K, δηλαδή Q + K = M και Q ∩ K = {0}.
• Κάθε σύντομη ακριβής ακολουθία 0 → Q → M → K → 0 αριστερών R-modules διαιρείται.
• Άν το Χ και το Υ είναι left R-modules και f : X → Y είναι ένας ομομορφισμός αμφιμονοσήμαντων προτύπων, υπάρχει ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο h : Y → Q τέτοιο ώστε hf = g, δηλαδή τέτοιο ώστε να εναλάσσεται το ακόλουθο διάγραμμα:

• Το contravariant functor Hom(-,Q) από την κατηγορία των left R-modules στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων είναι ακριβής.

Τα αμφιμονοσήμαντα δεξιά R-πρότυπα ορίζονται σε πλήρη αναλογία.

Παραδείγματα

Πρώτα παραδείγματα

Τετριμμένα, το μηδενικό πρότυπο {0} είναι μονομορφισμός.

Δοθέντος ενός χώρου Κ, κάθε Κ-διανυσματικός χώρος Q είναι ένα αμφιμονοσήμαντο k-πρότυπο. Ο λόγος: Αν το Q είναι υποχώρος του V, μπορούμε να βρούμε μία βάση του Q και να την επεκτείνουμε σε μία βάση του V. Η νέα επεκτεταμένη βάση διανυσμάτων καλύπτει έναν υποχώρο K του V και το V είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισμα των Q και K. Σημειώνουμε ότι το ευθύ συμπλήρωμα του K από το Q δεν καθορίζεται μοναδικά από το Q, και παρομοίως ο επεκτεταμένος χάρτης h στον παραπάνω ορισμό δεν είναι τυπικά μοναδικός.

Οι ρητοί Q (με πρόσθεση) σχηματίζουν έναν μονομορφισμό αβελιανών ομάδων ( δηλαδή έναν μονομορφισμο Ζ-module). Ο διανυσματικός χώρος Q/Z και ο κυκλικός χώρος είναι επίσης αμφιμονοσήμαντα Ζ-πρότυπα. Ο διανυσματικός χώρος Z/nZ για n > 1 είναι μονομορφισμός σαν ένα Z/nZ-πρότυπο, αλλά όχι σαν μία αβελιανή ομάδα.

Αντιμεταθετικά παραδείγματα

Γενικότερα, για κάθε ακέραια περιοχή R με πεδίο κλασμάτων K, το R-πρότυπο Κ είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο, και πράγματι το μικρότερο αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο περιέχεται στο R. Για κάθε περιοχή Dedekind, το πηλίκο πρότυπο K/R είναι επίσης αμφιμονοσήμαντο, και οι αδιάσπαστοι προσθετέοι του είναι οι εντοπισμοί $R_{\mathfrak {p}}/R$ για τα μη-μηδενικά προνομιακά ιδεώδη ${\mathfrak {p}}$. Το μηδενικό ιδανικό είναι επίσης προνομιακό και αντιστοιχεί στον μονομορφισμό Κ. Με αυτόν τον τρόπο υπάρχει μία 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα στα προνομιακά ιδεώδη και στα αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα.

Μία ιδιαίτερα πλούσια θεωρία είναι διαθέσιμη για τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους Noetherian χάρη στον Eben Matlis, (Lam 1999, §3I). Κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μοναδικά ένα ευθύ άθροισμα από αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα, και τα αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα προσδιορίζονται μοναδικά καθώς ο μονομορφισμός των πηλίκων R/P ποικίλλει επί του πρωτευόντος φάσματος του δακτυλίου. Ο μονομορφισμός του R/P σαν ένα R-πρότυπο είναι κανονικά ένα R_P module, και είναι ένας μονομορφισμός R_P του R/P. Με άλλα λόγια, αρκεί να θεωρούνται τοπικοί δακτύλιοι. Ο ενδομορφισμός δακτυλίων του μονομορφισμού του R/P είναι η ολοκλήρωση ${\hat {R}}_{P}$ από R έως P.

Δύο παραδείγματα είναι το αμφιμονοσήμαντο Ζ-πρότυπο Z/pZ ( ομάδα Prüfer ) και το αμφιμονοσήμαντο k[x]-πρότυπο k ( δακτύλιος των αντίστροφων πολυωνύμων ). Το τελευταίο περιγράφεται εύκολα σαν k[x,x^–1]/k[x]. Αυτό το πρότυπο έχει μία βάση που αποτελείται από "αντίστροφα μονώνυμα", τα οποία είναι x⁻ⁿ για n = 1, 2,.... Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός αν ορίζεται, και ο πολλαπλασιασμός συμπεριφέρεται κανονικά εκτός αν x•x⁻¹ = 0. Ο ενδομορφισμός δακτυλίου είναι απλά μια τυπική δυναμοσειρά.

Αρτιανά παραδείγματα

Αν G είναι μία πεπερασμένη ομάδα και K είναι ένα πεδίο με χαρακτηριστικά 0, τότε δείχνει τη θεωρία της αναπαράστασης ομάδας το οποίο κάθε subrepresentation από ένα δοθέν είναι ήδη ένας άμεσος προσθετέος του δεδομένου. Μεταφρασμένο στην γλώσσα των modules, σημαίνει ό,τι όλα τα modules πάνω σε μία αλγεβρική ομάδα kG είναι μονομορφισμοί. Άν το χαρακτηριστικό του Κ δεν είναι μηδέν, ίσως βοηθήσει το ακόλουθο παράδειγμα.

Άν το Α είναι μοναδιαίο της προσεταιριστικής άλγεβρας πάνω στο πεδίο Κ με πεπερασμένη διάσταση μεγαλύτερη του Κ, τότε το Hom_k(−, k) είναι μία δυαδικότητα ανάμεσα στα πεπερασμένα παραγόμενα αριστερά A-πρότυπα και στα πεπερασμένα παραγόμενα δεξιά A-πρότυπα. Ως εκ τούτου, οι μονομορφισμοί των πεπερασμένων παραγόμενων αριστερών A-προτύπων είναι ακριβώς τα πρότυπα της μορφής Hom_k(P, k) όπου P είναι ένα πεπερασμένο παραγόμενο προβολικού δεξιού A-προτύπου. Για την συμμετρική άλγεβρα, η δυαδικότητα συμπεριφέρεται ιδιαίτερα καλά και τα προβολικά πρότυπα και τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα συμπίπτουν.

Για κάθε αρτιανό δακτύλιο, ακριβώς όπως και στους αντιμεταθετικούς δακτυλίους, υπάρχει μία 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα σε ένα προνομιακό ιδεώδες και στο αδιάσπαστο αμφιμονοσήμαντο πρότυπο. Η αντιστοιχία σε αυτήν την περίπτωση είναι ίσως ακόμη πιο απλή: ένα προνομιακό ιδεώδες είναι ένας εκμηδενιστής ενός μοναδικού απλού προτύπου, και το αντίστοιχο αδιάσπαστο αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι ο μονομορφισμός του. Για πεπερασμένες διαστάσεις της άλγεβρας πάνω στα πεδία, αυτοί οι μονομορφισμοί είναι πεπερασμένα παραγόμενα πρότυπα. (Lam 1999, §3G, §3J).

Θεωρία

Submodules, κλάσματα, προϊόντα, και αθροίσματα

Κάθε προϊόν ( ακόμα κ άπειρα ) από αμφιμονοσήμαντα πρότυπα είναι μονομορφισμός; αντιστρόφως, αν ένα ευθύ προϊόν από πρότυπα είναι μονομορφισμός, τότε κάθε πρότυπο είναι αμφιμονοσήμαντο (Lam 1999, σελ. 61). Κάθε ευθύ άθροισμα ενός πεπερασμένου πλήθους αμφιμονοσήμαντων προτύπων είναι μονομορφισμός. Γενικά, τα submodules, τα παράγοντα πρότυπα, ή τα άπειρα ευθεία αθροίσματα από αμφιμονοσήμαντα πρότυπα δεν χρειάζεται να είναι μονομορφισμοί. Κάθε submodule από κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μονομορφισμός άν ο δακτύλιος είναι Artinian ; κάθε παραγόμενο πρότυπο από κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο δακτύλιος είναι κληρονομικός hereditary , (Lam 1999, Th. 3.22) ; κάθε άπειρο ευθύ άθροισμα από αμφιμονοσήμαντα πρότυπα είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο δακτύλιος είναι Noetherian , (Lam 1999, Th 3.46).

Κριτήριο του Baer

Στο αυθεντικό σύγγραμμα του ο Baer, απέδειξε ένα χρήσιμο αποτέλεσμα, γνωστό και ως Κριτήριο του Baer, για τον έλεγχο αν ένα πρότυπο είναι αμφιμονοσήμαντο: ένα αριστερό R-πρότυπο Q είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν κάθε ομομορφισμός g : I → Q ορίζεται σε ένα αριστερό ιδανικό I ή το R μπορεί να επεκταθεί σε όλο το R.

Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο, μπορούμε να δείξουμε ό,τι το Q είναι μία αμφιμονοσήμαντη αβελιανή ομάδα ( δηλαδή ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο πάνω στο Ζ ). Γενικότερα, μία αβελιανή ομάδα είναι αμφιμονοσήμαντη αν και μόνο αν είναι διαιρετή. Ακόμη πιο γενικά, ένα πρότυπο πάνω σε έναν τομέα κύριων ιδεών είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν είναι διαιρετό ( η περίπτωση των διανυσματικών χώρων είναι ένα παράδειγμα του θεωρήματος, όπως κάθε πεδίο είναι είναι ένας τομέας κύριων ιδεών και κάθε διανυσματικός χώρος είναι διαιρετός ). Πάνω από ένα γενικό ακέραιο τομέα, έχουμε ακόμα ένα συμπέρασμα: κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο πάνω από μια ακέραια περιοχή είναι διαιρετό.

Το κριτήριο του Baer έχει βελτιωθεί με πολλούς τρόπους (Golan & Head 1991, σελ. 119), συμπεριλαμβανομένου ενός αποτελέσματος (Smith 1981) και (Vamos 1983) για ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο Noetherian, αρκεί να εξεταστεί μόνο το προνομιακή ιδεώδη I . Το διπλό από το κριτήριο του Baer θα ήταν ένας απλός έλεγχος για την προβολικότητα, αλλά ακόμη και για τον δακτύλιο Z των ακεραίων, αυτό γίνεται το άλυτο πρόβλημα του Whitehead ( Whitehead problem ).

Ingective cogenerators

Κύριο άρθρο: injective cogenerator

Ίσως το πιο σημαντικό αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι η αβελιανή (ή αντιμεταθετικη) ομάδα Q/Z. Είναι ένας ingective cogenerator στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων, που σημαίνει ότι είναι αμφιμονοσήμαντος και οποιδήποτε άλλο πρότυπο συμπεριλαμβάνεται σε ένα κατάλληλα μεγάλο γινόμενο από αντίγραφα του Q/Z. Δηλαδή ειδικότερα, οποιαδήποτε αβελιανή ομάδα είναι υποομάδα από μία αμφιμονοσήμαντη. Είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτο ότι ισχύει ακόμα και σε οποιονδήποτε δακτύλιο: κάθε πρότυπο είναι υποπρότυπο από ένα αμφιμονοσήμαντο, ή "η κλάση των αριστερών R-προτύπων έχει αρκετά αμφιμονοσήμαντα." Για την απόδειξη, γίνεται χρήση των ιδιόμορφων ιδιοτήτων της αβελιανής ομάδας Q/Z με σκοπό την δημιουργία ενός injective cogenerator στην κλάση των αριστερών R-πρότυπο.

Για ένα αριστερό R-πρότυπο Μ, το αποκαλούμενο "χαρακτήρας πρότυπο" M⁺ = Hom_Z(M,Q/Z) είναι ένα δεξιό πρότυπο το οποίο παρουσιάζει μία ενδιαφέρουσα δυαδικότητα, όχι μεταξύ των αμφιμονοσήμαντων προτύπων και των προβολικών προτύπων, αλλά μεταξύ των αμφιμονοσήμαντων προτύπων και των επίπεδων προτύπων (Enochs & Jenda 2001, pp. 78–80). Για οποιονδήποτε δακτύλιο R, ένα αριστερό R-πρότυπο είναι επίπεδο εάν και μόνο το χαρακτήρας πρότυπο του είναι αμφιμονοσήμαντο. Εάν ο R είναι αριστερός νοεθηριανός, τότε ένα αριστερό R-πρότυπο είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν το χαρακτήρας πρότυπο του είναι επίπεδο.

Αμφιμονοσήμαντα περιβλήματα

Κύριο άρθρο: αμφιμονοσήμαντο περίβλημα

Το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα ενός προτύπου είναι το μικρότερο αμφιμονοσήμαντο πρότυπο συμπεριλαμβάνοντας αυτό που δίνεται και περιγραφόταν στο (Eckmann & Shopf 1953). Κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει αμφιμονοσήμαντα περιβλήματα για να ορίσει μία ελάχιστη ανάλυση (βλέπε παρακάτω). Εάν κάθε όρος της αμφιμονοσήμαντης ανάλυσης είναι το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα του συμπηρήνα (cokernel) της προηγούμενης απεικόνισης, τότε η αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση έχει ελάχιστο μήκος.

Αμφιμονοσήμαντες αναλύσεις

Κάθε πρότυπο M έχει επίσης μία αμφιμονοσήμαντη ανάλυση: μία τέλεια ακουθία της μορφής

0 → M → I⁰ → I¹ → I² → ...

όπου τα I ^j είναι αμφιμονοσήμαντα πρότυπα. Αμφιμονοσήμαντες αναλύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για οριστούν παραγόμενοι συναρτητές όπως ο Εxt συναρτητής (Ext functor)

Το μήκος μίας πεπερασμένης αμφιμονοσήμαντης ανάλυσης είναι ο πρώτος δείκτης n όπου Iⁿ είναι μη μηδενικό και Iⁱ = 0 για i μεγαλύτερο του n. Εάν ένα πρότυπο Μ επιδέχεται μία πεπερασμένη αμφιμονοσήμαντη ανάλυση, το ελάχιστο μήκος μεταξύ όλων των πεπερασμένων αμφιμονοσήμαντων αναλύσεων του Μ ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη διάσταση του και συμβολίζεται id(M). Εάν το Μ δεν επιδέχεται μία πεπερασμένη αμφιμονοσήμαντη ανάλυση, τότε από παραδοχή η αμφιμονοσήμαντη διάσταση λέγεται ότι είναι άπειρη. (Lam 1999, §5C) Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα πρότυπο Μ τέτοιο ώστε id(M) = 0. Σε αυτήν την περίπτωση, η ακρίβεια της ακολουθίας 0 → M → I₀ → 0 υποδεικνύει ότι το βέλος στο κέντρο είναι ισομορφισμός, και ως εκ τούτου το Μ αυτό κάθε αυτό είναι αμφιμονοσήμαντο.^[2]

Ισοδύναμα, η αμφιμονοσήμαντη διάσταση του Μ είναι ο ελάχιστος ακέραιος αριθμός (εάν υπάρχει τέτοιος, αλλιώς ∞) n τέτοιος ώστε Ext_A^N(-,M) = 0 για κάθε N>n.

Αδιάσπαστες

Κάθε αμφιμονοσήμαντο υποπρότυπο ενός αμφιμονοσήμαντου προτύπου είναι ένας ευθύς προσθετέος, οπότε είναι σημαντικό να κατανοηθούν τα αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα, (Lam 1999, §3F).

Κάθε αδιάσπαστο αμφιμονοσήμαντο πρότυπο έχει έναν τοπικό ενδμοορφισμό δακτυλίων. Ένα πρότυπο ονομάζεται ομοιόμορφο πρότυπο εάν κάθε δύο μη μηδενικά υποπρότυπα έχουν μη μηδενική τομή. Για ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο Μ τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

• Το Μ είναι αδιάσπαστο
• Το Μ είναι μη μηδενικό και είναι το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα κάθε μη μηδενικού υποπροτύπου
• Το Μ είναι είναι ομοιόμορφο
• Το Μ είναι το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα από ένα ομοιόμορφο πρότυπο
• Το Μ είναι το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα από ένα ομοιόμορφο κυκλικό πρότυπο

• Το Μ έχει έναν τοπικό ενδομορφισμό δακτυλίων

Σε έναν Νοεθηριανό δακτύλιο, κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι το ευθύ άθροισμα από (μοναδικά ορισμένα) αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα. Σε έναν αντιμεταθετικό Νοεθηριανό δακτύλιο, αυτό δίνει μια λεπτομερή αντίληψη όλων των αμφιμονοσήμαντων προτύπων, που περιγράφεται στο (Matlis 1958). Τα αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα είναι τα αμφιμονοσήμαντα περιβλήματα των προτύπων R/p για p ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου R. Επιπλέον το αμφιμονοσήμαντο πρότυπο Μ του R/p έχει μία αυξανόμενη διήθηση από πρότυπα M_n τα οποία δίνονται από τους εκμηδενιστές των ιδανικών pⁿ, και M_n+1/M_n είναι ισομορφικό ως απειροδιάστατος διανυσματικός χώρος πάνω στο πηλίκο πεδίο k(p) of R/p to Hom_R/p(pⁿ/pⁿ⁺¹, k(p)).

Αλλαγή των δακτυλίων

Είναι σημαντικό κάποιος να είναι σε θέση να σκεφτεί πρότυπα πάνω σε υποδακτυλίους ή δακτύλιους πηλίκα, ειδικά για παράδειγμα πολυωνυμικούς δακτυλίους. Γενικά, αυτό είναι δύσκολο, αλλά είναι γνωστός ένας αριθμός αποτελεσμάτων, (Lam 1999, p. 62).

Έστω ότι S και R είναι δακτύλιοι, και ότι P είναι ένα αριστερό-R, δεξιό-S διπλοπρότυπο το οποίο είναι επίπεδο όπως ένα αριστερό-R πρότυπο. Για κάθε αμφιμονοσήμαντο δεξιό S-πρότυπο Μ, το σύνολο προτύπου ομομορφισμού Hom_S( P, M ) είναι ένα αμφιμονοσήμαντο δεξιό R-πρότυπο. Για παράδειγμα, εάν R είναι ένας υποδακτύλιος του S τέτοιος ώστε το S να είναι ένα R-πρότυπο, τότε κάθε αμφιμονοσήμαντο S-πρότυπο είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο. Ειδικότερα, εάν το R είναι ακέραια περιοχή και S το πεδίο κλασμάτων του, τότε κάθε διανυσματικός χώρος πάνω στο S είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο. Ομοίως, κάθε αμφιμονοσήμαντο R[x]-πρότυπο είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο.

Για δακτύλιους πηλίκα R/I, η αλλαγή δακτυλίων είναι επίσης ξεκάθαρη. Ένα R-πρότυπο είναι R/I-πρότυπο ακριβώς όταν εκμηδενίζεται από το Ι. Το υποπρότυπο ann_I(M) = { m in M : im = 0 for all i in I } είναι ένα αριστερό υποπρότυπο του αριστερού R-προτύπου Μ, και είναι το μεγαλύτερο υποπρότυπο του Μ το οποίο είναι ένα R/I-πρότυπο. Εάν το Μ είναι ένα αμφιμονοσήμαντο αριστερό R-πρότυπο , τότε το ann_I(M) είναι ένα αμφιμονοσήμαντο αριστερό R/I-πρότυπο. Εφαρμόζοντας αυτό στα R=Z, I=nZ και M=Q/Z, κάποιος αντιλαμβάνεται το οικείο γεγονός ότι το Z/nZ είναι αμφιμονοσήμαντο ως πρότυπο πάνω στον εαυτό του. Ενώ είναι εύκολη η μετατροπή αμφιμονοσήμαντων R-προτύπων σε R/I-πρότυπα, αυτή η διαδικασία δεν μετατρέπει αμφιμονοσήμαντες R-αναλύσεις σε αμφιμονοσήμαντες R/I-αναλύσεις, και η ομολογία του συμπλέγματος που προκύπτει είναι μία από τις πρώτες και θεμελιώδεις περιοχές της σχετικής ομολογιακής άλγεβρας.

Το βιβλίο (Rotman 1979, p. 103) έχει μία εσφαλμένη απόδειξη ότι ο περιορισμός διατηρεί τα αμφιμονοσήμαντα, αλλά δόθηκε ένα αντιπαράδειγμα στο (Dade 1981).

Αυτό-αμφιμονοσήμαντοι δακτύλιοι

Κάθε δακτύλιος με ενότητα είναι ένα ελεύθερο πρότυπο και ως εκ τούτου είναι ένα προβολικό ως πρότυπο πάνω στον εαυτό του, αλλά είναι πιο σπάνιο για έναν δακτύλιο ναι είναι αμφιμονοσήμαντος ως πρότυπο πάνω στον εαυτό του, (Lam 1999, §3B). Εάν ένας δακτύλιος είναι αμφιμονοσήμαντος πάνω στον εαυτό του ως δεξιό πρότυπο, τότε ονομάζεται δεξιός αυτό-αμφιμονοσήμαντος δακτύλιος. Κάθε Φροβενιανή άλγεβρα είναι αυτό-αμφιμονοσήμαντη, αλλά καμία ακέραια περιοχή η οποία δεν αποτελεί πεδίο είναι αυτό-αμφιμονοσήμαντη. Κάθε κατάλληλο πηλίκο από ένα πεδίο Dedekind είναι αυτο-αμφιμονοσήμαντο.

Ένα δεξιός Νοεθηριανός, δεξιός αυτό-αμφιμονοσήμαντος δακτύλιος ονομάζεται ψευδο-Φροβενιανός δακτύλιος, και είναι δύο όψεων Αρτινιανός δακτύλιος και δύο όψεων αμφιμονοσήμαντος, (Lam 1999, Th. 15.1). Ένα σημαντικό πρότυπο θεωρητικής ιδιότητας των ψευδο-Φροβενιανών δακτυλίων είναι ότι τα προβολικά πρότυπα είναι ακριβώς τα ανφιμονοσήμαντα πρότυπα.

Γενικεύσεις και ειδικεύσεις

Αμφιμονοσήμαντα αντικείμενα

Κύριο άρθρο: αμφιμονοσήμαντο αντικείμενο

Κάποιος ακόμα μιλάει σχετικά με αμφιμονοσήμαντα αντικείμενα σε κατηγορίες πιο γενικές από τις πρότυπες κατηγορίες, για παράδειγμα σε κατηγορίες συναρτητών ή σε κατηγορίες δεσμών O_X-προτύπων πάνω σε κάποιο δακτυλιοειδή χώρο (X,O_X). Χρησιμοποιείται ο ακόλουθος γενικός ορισμός: ένα αντικείμενο Q της κατηγορίας C είναι αμφιμονοσήμαντο για οποιονδήποτε μονομορφισμό f : X → Y in C και για οποιονδήποτε μορφισμό g : X → Q υφίσταται ένας μορφισμός h : Y → Q with hf = g.

Διαιρετές ομάδες

Κύριο άρθρο: διαιρετή ομάδα

Η έννοια του αμφιμονοσήμαντου αντικειμένου στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων μελετήθηκε κάπως ανεξάρτητα από τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα υπό τον όρο διαιρετές ομάδες. Εδώ ένα Z-πρότυπο Μ είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν n⋅M = M για κάθε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό n. Eδώ οι σχέσεις μεταξύ επίπεδων προτύπων, καθαρών υποπροτύπων, και αμφιμονοσήμαντων προτύπων είναι πιο ξεκάθαρες, αφού αναφέρεται σε ορισμένες ιδιότητες διαιρετότητας των πρότυπων στοιχείων από τους ακέραιους αριθμούς.

Καθαρά αμφιμονοσήμαντα

Κύριο άρθρο: καθαρό αμφιμονοσήμαντο πρότυπο

Στην σχετική ομολογική άλγεβρα, η ιδιότητα επέκτασης των ομομορφισμών μπορεί να απαιτείται μόνο για συγκεκριμένα υποπρότυπα, αντί για όλα. Για παράδειγμα, ένα καθαρό αμφιμονοσήμαντο πρότυπο μέσα στο οποίο ένας ομομορφισμός από ένα καθαρό υποπρότυπο μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρο το πρότυπο.

Παραπομπές

Παρατηρήσεις

1. Αυτό είναι το Bass-Papp θεώρημα, βλέπε (Papp 1959) και (Chase 1960)
2. Ένα πρότυπο ισομορφικό σε ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι φυσικά αμφιμονοσήμαντο.

Εγχειρίδια

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Rings and Categories of Modules, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97845-1, retrieved 03/2007/27
• Enochs, Edgar E.; Jenda, Overtoun M. G. (2000), Relative homological algebra, de Gruyter Expositions in Mathematics 30, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-016633-0, MR 1753146
• Golan, Jonathan S.; Head, Tom (1991), Modules and the structure of rings, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 147, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, MR 1201818
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics 85, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-599250-3, MR 538169

Κύριες πηγές

• Baer, Reinhold (1940), "Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group", Bulletin of the American Mathematical Society 46 (10): 800–807, doi:10.1090/S0002-9904-1940-07306-9, Zbl 0024.14902, MR 0002886
• Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 97, No. 3) 97 (3): 457–473, doi:10.2307/1993382, JSTOR 1993382, MR 0120260
• Dade, Everett C. (1981), "Localization of injective modules", Journal of Algebra 69 (2): 416–425, doi:10.1016/0021-8693(81)90213-1, MR 617087
• Eckmann, B.; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik 4 (2): 75–78, doi:10.1007/BF01899665, MR 0055978
• Lambek, Joachim (1963), "On Utumi's ring of quotients", Canadian Journal of Mathematics 15: 363–370, doi:10.4153/CJM-1963-041-4, ISSN 0008-414X, MR 0147509
• Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics 8: 511–528, ISSN 0030-8730, MR 0099360
• Osofsky, B. L. (1964), "On ring properties of injective hulls", Canadian Mathematical Bulletin 7: 405–413, doi:10.4153/CMB-1964-039-3, ISSN 0008-4395, MR 0166227
• Papp, Zoltán (1959), "On algebraically closed modules", Publicationes Mathematicae Debrecen 6: 311–327, ISSN 0033-3883, MR 0121390
• Smith, P. F. (1981), "Injective modules and prime ideals", Communications in Algebra 9 (9): 989–999, doi:10.1080/00927878108822627, MR 614468
• Utumi, Yuzo (1956), "On quotient rings", Osaka Journal of Mathematics 8: 1–18, ISSN 0030-6126, MR 0078966
• Vámos, P. (1983), "Ideals and modules testing injectivity", Communications in Algebra 11 (22): 2495–2505, doi:10.1080/00927878308822975, MR 733337

Κατηγορίες: ομολογική άλγεβρα | Θεωρία προτύπων